在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C所對(duì)的邊,若acosB-bcosA=
3
5
c,則tan(A-B)的最大值為
3
4
3
4
分析:利用正弦定理,將已知等式化簡(jiǎn)整理得sinAcosB=4sinBcosA,兩邊同除以cosAcosB,得到tanA=4tanB.利用兩角差的正切公式,得tan(A-B)=
3tanB
1+4tan2B
=
3
1
tanB
+4tanB
,最后利用基本不等式求最值,可得當(dāng)且僅當(dāng)tanB=
1
2
時(shí),tan(A-B)的最大值為
3
4
解答:解:∵acosB-bcosA=
3
5
c,
∴結(jié)合正弦定理,得sinAcosB-sinBcosA=
3
5
sinC,
∵C=π-(A+B),得sinC=sin(A+B)
∴sinAcosB-sinBcosA=
3
5
(sinAcosB+cosAsinB)
整理,得sinAcosB=4sinBcosA,同除以cosAcosB,得tanA=4tanB
由此可得tan(A-B)=
tanA-tanB
1+tanAtanB
=
3tanB
1+4tan2B
=
3
1
tanB
+4tanB

∵A、B是三角形內(nèi)角,且tanA與tanB同號(hào)
∴A、B都是銳角,即tanA>0,tanB>0
1
tanB
+4tanB≥2
1
tanB
•4tanB
=4
∴tan(A-B)=
3
1
tanB
+4tanB
3
4
,當(dāng)且僅當(dāng)
1
tanB
=4tanB,即tanB=
1
2
時(shí),tan(A-B)的最大值為
3
4

故答案為:
3
4
點(diǎn)評(píng):本題已知三角形邊角的一個(gè)關(guān)系式,求tan(A-B)的最大值,著重考查了正弦定理、兩角差的正切公式和基本不等式求最值等知識(shí),屬于中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別是a、b、c.滿足2acosC+ccosA=b.則sinA+sinB的最大值是(  )
A、
2
2
B、1
C、
2
D、
1+
2
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,a<b<c,B=60°,面積為10
3
cm2,周長(zhǎng)為20cm,求此三角形的各邊長(zhǎng).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊,已知
.
m
=(cos
C
2
,sin
C
2
)
,
.
n
=(cos
C
2
,-sin
C
2
)
,且
m
n
=
1
2

(1)求角C;
(2)若a+b=
11
2
,△ABC的面積S=
3
3
2
,求邊c的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,A,B,C為三個(gè)內(nèi)角,若cotA•cotB>1,則△ABC是(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知y=f(x)函數(shù)的圖象是由y=sinx的圖象經(jīng)過如下三步變換得到的:
①將y=sinx的圖象整體向左平移
π
6
個(gè)單位;
②將①中的圖象的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)縮短為原來的
1
2

③將②中的圖象的橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍.
(1)求f(x)的周期和對(duì)稱軸;
(2)在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊,且f(C)=2,c=1,ab=2
3
,且a>b,求a,b的值.

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