Question

設(shè)點(diǎn)M、N分別是不等邊△ABC的重心與外心，已知A（0，1），B（0，-1），且

MN

=λ

AB

．
（1）求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E；
（2）（理科）若直線(xiàn)y=kx+b與曲線(xiàn)E交于不同的兩點(diǎn)P、Q，且滿(mǎn)足

OP

•

OQ

=0，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．
（文科）若直線(xiàn)y=x+b與曲線(xiàn)E交于不同的兩點(diǎn)P、Q，且滿(mǎn)足

OP

•

OQ

=0，求實(shí)數(shù)b的取值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專(zhuān)題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用,直線(xiàn)與圓,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)點(diǎn)C（x，y ），運(yùn)用重心坐標(biāo)公式可得點(diǎn)M，由

MN

=λ

AB

，可得 MN∥AB，故N的橫坐標(biāo)等于

x

3

，又N在AB的中垂線(xiàn)上，故縱坐標(biāo)等于0．由于NA=NC，可得方程，化簡(jiǎn)可得軌跡方程，從而得到軌跡．
（2）（理科）把直線(xiàn)y=kx+b代入軌跡E的方程化簡(jiǎn)，再由韋達(dá)定理，結(jié)合向量數(shù)量積為0，化簡(jiǎn)整理，即可得到b的取值范圍；
（文科）把直線(xiàn)y=x+b代入軌跡E的方程化簡(jiǎn)，再由韋達(dá)定理和判別式大于0，結(jié)合向量數(shù)量積為0，化簡(jiǎn)整理，即可得到b的取值．

解答： 解：（1）設(shè)點(diǎn)C（x，y ），則點(diǎn)M（

0+0+x

3

，

1-1+y

3

 ），
即點(diǎn)M（

x

3

，

y

3

 ），
由

MN

=λ

AB

，可得 MN∥AB，故N的橫坐標(biāo)等于

x

3

，
又N在AB的中垂線(xiàn)上，故縱坐標(biāo)等于0．
由于N是不等邊△ABC的外心，∴NA=NC，
∴

( x 3 )2+1

=

( x 3 -x)2+y2

．
化簡(jiǎn)可得，

x2

3

+y²=1，xy≠0，
故動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E是焦點(diǎn)在x軸上的標(biāo)準(zhǔn)位置的一個(gè)橢圓，去掉其頂點(diǎn)．
（2）（理科）將直線(xiàn)y=kx+b代入方程

x2

3

+y²=1（xy≠0），化簡(jiǎn)可得，
（1+3k²）x²+6kbx+3b²-3=0，由題意可得，
b≠0，b≠±1且△=（6kb）²-4（1+3k²）（3b²-3）＞0，
化簡(jiǎn)得，b≠0，b≠±1且b²-1＜3k²，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由

OP

•

OQ

=0，可得，
x₁•x₂+（kx₁+b）•（kx₂+b）=（1+k²）x₁•x₂+kb（x₁+x₂）+b²=0．
x₁+x₂=-

6kb

1+3k2

，x₁x₂=

3b2-3

1+3k2

，
即有（1+k²）•

3b2-3

1+3k2

+kb•（-

6kb

1+3k2

）+b²=0
解得，3k²=4b²-3，
則b≠0，b≠±1，4b²-3≥0，4b²-3＞b²-1，
解得，b≤-

3

2

或b≥

3

2

且b≠±1．
（文科）把直線(xiàn)y=x+b代入軌跡E的方程化簡(jiǎn)可得  4x²+6bx+3b²-3=0．
由題意可得，b≠0，b≠±1，
且△=36b²-16（ 3b²-3）＞0，解得，b≠0，b≠±1且b²＜4，
x₁+x₂=-

3b

2

，x₁•x₂=

3b2-3

4

．
由

OP

•

OQ

=0，可得，
x₁•x₂+（x₁+b）•（x₂+b）=2x₁•x₂+b（x₁+x₂）+b²=0．
∴2•

3b2-3

4

+b•（

-3b

2

）+b²=0，解得 b²=

3

2

，
∴b=±

6

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系，判斷軌跡E的形狀，是解題的易錯(cuò)點(diǎn)．