Question

3．已知直線l經(jīng)過點A（-1，0），且與x軸垂直，以C（$\frac{{a}^{2}}{4}$，a）為圓心，|OC|為半徑的圓C交直線l于不同的兩點M，N（O為坐標原點）．
（1）若a=2，求|MN|；
（2）設點F（1，0），且|AF|²=|AM|•|AN|，求圓C的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意求出直線l的方程，由a=2求出圓心C的坐標和半徑，再求出圓C的方程，令x=-1代入圓C的方程求出M、N的坐標，即可求出|MN|；
（2）設M（-1，y₁），N（-1，y₂），求出圓心C的坐標和半徑，再求出圓C的方程，與x=-1聯(lián)立后利用問答定理求出y₁y₂，代入|AF|²=|AM|•|AN|化簡后求出a，即可求出圓C的方程．

解答 解：（1）由題意知，直線l的方程是x=-1，
當a=2時，圓心C（1，2），則半徑r=|OC|=$\sqrt{5}$，
∴圓C的方程是（x-1）²+（y-2）²=5，
令x=-1代入圓的方程得，y=1或3，
∴M（-1，1），N（-1，3），則|MN|=2；
（2）設M（-1，y₁），N（-1，y₂），
∵圓C的半徑是|OC|，且$|OC{|}^{2}=\frac{{a}^{4}}{16}+{a}^{2}$，
∴圓C的方程是${（x-\frac{{a}^{2}}{4}）}^{2}+{（y-a）}^{2}=\frac{{a}^{4}}{16}+{a}^{2}$，
令x=-1代入圓的方程得，${y}^{2}-2ay+\frac{{a}^{2}}{2}+1=0$，
∴y₁y₂=$\frac{{a}^{2}}{2}+1$，則|y₁y₂|=$\frac{{a}^{2}}{2}+1$，
∵|AF|²=|AM|•|AN|，F(xiàn)（1，0），∴4=|y₁|•|y₂|=|y₁y₂|=$\frac{{a}^{2}}{2}+1$，
解得a=$\sqrt{6}$或$-\sqrt{6}$，
∴圓C的方程是${（x-\frac{3}{2}）}^{2}+{（y-\sqrt{6}）}^{2}=\frac{33}{4}$或${（x-\frac{3}{2}）}^{2}+{（y+\sqrt{6}）}^{2}=\frac{33}{4}$．

點評 此題考查了圓的標準方程，韋達定理，考查化簡、計算能力，屬于中檔題．