Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+ax-3在（-∞，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，且當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象上任一點(diǎn)切線斜率均小于4a，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：根據(jù)f（x）在R上是單調(diào)函數(shù)則f'（x）≥0恒成立，求出a的范圍，然后根據(jù)f'（x）=x²+ax+a＜4a即x²+ax-3a＜0在x∈[-1，1]成立，求出a的范圍，求兩者的交集即可求出所求．

解答：解：∵f（x）在R上是單調(diào)函數(shù)∴f'（x）≥0或f'（x）≤0在x∈R成立
而f'（x）=x²+ax+a在x∈R上不可能有f'（x）≤0成立，則只有f'（x）≥0，在x∈R成立，
即x²+ax+a≥0在x∈R恒成立．
∴△=a²-4a≤0∴0≤a≤4
又f'（x）=x²+ax+a＜4a即x²+ax-3a＜0在x∈[-1，1]成立，
令g（x）=x²+ax-3a，
由圖象知：

g(1)＜0 g(-1)＜0

∴

1-a-3a＜0 1+a-3a＜0

∴a＞

1

2

∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是

1

2

＜a≤4

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及恒成立問(wèn)題，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．