Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+bx+b-1（b∈R）．
（Ⅰ）解不等式f（x）＞0；
（Ⅱ）若對任意x₁，x₂∈[-1，1]，有f（x₁）-f（x₂）≤4，求b的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）分別討論-1=1-b，-1＜1-b，-1＞1-b的情況，從而求出不等式的解集；（Ⅱ）通過討論-

b

2

的范圍，從而求出b的范圍．

解答： 解：（Ⅰ） x²+bx+b-1＞0（x+1）（x+b-1）＞0
當(dāng)-1=1-b，即b=2時，解集為{x|x≠-1}；       …（2分）
當(dāng)-1＜1-b，即b＜2時，解集為{x|x＜-1或x＞1-b}；…（4分）
當(dāng)-1＞1-b，即b＞2時，解集為{x|x＜1-b或x＞-1}．…（6分）
（Ⅱ） 若對任意x₁，x₂∈[-1，1]，有f（x₁）-f（x₂）≤4，
等價于對任意f（x）在[-1，1]上的最大值與最小值之差M≤4，…（8分）
據(jù)此分類討論如下：
①當(dāng)-

b

2

＞1，即b＜-2時，M=f（-1）-f（1）=-2b＞4，與題設(shè)矛盾；
②當(dāng)-

b

2

＜-1，即b＞2時，M=f（1）-f（-1）=2b＞4，與題設(shè)矛盾；
③當(dāng)-1≤-

b

2

＜0，即0＜b≤2時，M=f(1)-f(-

b

2

)=(

b

2

+1)2≤4恒成立；
④當(dāng)0≤-

b

2

≤1，即-2≤b≤0時，M=f(-1)-f(-

b

2

)=(

b

2

-1)2≤4恒成立．                                                  …（10分）
綜上可知，-2≤b≤2．  …（12分）

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了分類討論思想，是一道中檔題．