Question

已知數(shù)列{a_n}中各項(xiàng)為：12、1122、111222、

11…1

個(gè)n

22…2

n個(gè)

（1）證明這個(gè)數(shù)列中的每一項(xiàng)都是兩個(gè)相鄰整數(shù)的積．
（2）求這個(gè)數(shù)列前n項(xiàng)之和S_n．

Answer 1

（1）a_n=

1

9

（10ⁿ-1）•10ⁿ+

2

9

（10ⁿ-1）（2分）
=

1

9

（10ⁿ-1）（10ⁿ+2）=（

10n-1

3

）（

10n-1

3

+1）（4分）
記：A=

10n-1

3

，則A=

33…3

n個(gè)

為整數(shù)
∴a_n=A（A+1），得證（6分）
（2）∵a_n=

1

9

10²ⁿ+

1

9

10ⁿ-

2

9

（8分）
S_n=

1

9

（10²+10⁴+…+10²ⁿ）+

1

9

（10+10²+…+10ⁿ）-

2

9

n
=

1

891

（10²ⁿ⁺²）+11•10ⁿ⁺¹-198n-210（12分）