Question

17．在算式“30-△=4×□”中的△，□分別填入兩個(gè)正整數(shù)，使它們的倒數(shù)和最小，則這兩個(gè)數(shù)構(gòu)成的數(shù)對(duì)（△，□）應(yīng)為（　　）

• A． （4，14）
• B． （6，6）
• C． （3，18）
• D． （10，5）

Answer 1

分析 設(shè)△=a，□=b，（a＞0，b＞0），則a+4b=30，即有$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=$\frac{1}{30}$（a+4b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$）=$\frac{1}{30}$（5+$\frac{a}$+$\frac{4b}{a}$），運(yùn)用基本不等式即可得到最小值和取得等號(hào)的條件．

解答 解：設(shè)△=a，□=b，（a＞0，b＞0），
則a+4b=30，
即有$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=$\frac{1}{30}$（a+4b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$）=$\frac{1}{30}$（5+$\frac{a}$+$\frac{4b}{a}$）
≥$\frac{1}{30}$（5+2$\sqrt{\frac{a}•\frac{4b}{a}}$）=$\frac{1}{30}$×（5+4）=$\frac{3}{10}$．
當(dāng)且僅當(dāng)a=2b，由a+4b=30，可得a=10，b=5，
取得最小值．
即這兩個(gè)數(shù)構(gòu)成的數(shù)對(duì)（△，□）應(yīng)為（10，5）．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，注意運(yùn)用乘1法和滿足的條件：一正二定三等，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．