Question

已知定義在R上的偶函數(shù)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，且f（2x-1）≥f（x）是不等式2m+

1

m

≤x²-2x≤m成立的充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：本題先根據(jù)函數(shù)f（x）的奇偶性和單調(diào)性將不等式f（2x-1）≥f（x）進(jìn)行化簡(jiǎn)，再利用命題間的充分條件關(guān)系，得到兩不等式的解集關(guān)系，比較區(qū)間端點(diǎn)，得到相關(guān)不等式，解不等式，得到本題結(jié)論．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)
∴f（-x）=f（x）=f（|x|）．
∵函數(shù)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，
∴不等式f（2x-1）≥f（x）可轉(zhuǎn)化為：
f（|2x-1|）≥f（|x|），
∴|2x-1|≤|x|，
∴（2x-1）²-x²≤0，
∴

1

3

≤x≤1．
∵f（2x-1）≥f（x）是不等式2m+

1

m

≤x²-2x≤m成立的充分條件，
∴

1

3

≤x≤1是不等式2m+

1

m

≤x²-2x≤m成立的充分條件，
∴當(dāng)

1

3

≤x≤1時(shí)，x²-2x=（x-1）²-1∈[-1，-

5

9

]，
∴2m+

1

m

≤-1，m≥-

5

9

，
∴m≥-

5

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及不等式解法，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．