Question

已知命題p：?x∈R，x²+2x-m=0；命題q：?x∈R，mx²+mx+1＞0．
（Ⅰ）若命題p為真命題，求實數m的取值范圍；
（Ⅱ）若命題q為假命題，求實數m的取值范圍；
（Ⅲ）若命題p∨q為真命題，且p∧q為假命題，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：復合命題的真假,全稱命題

專題：簡易邏輯

分析：（ I）若命題p為真命題，則x²+2x-m=0有實數根，根據△≥0，解出即可；
（II）若命題q為假命題，通過討論（1）m=0時，（2）m＞0時，（3）m＜0時的情況，從而得到答案．
（III）通過討論“p真，q假”或“p假，q真”的情況，得到不等式組，解出即可．

解答： 解：（ I）若命題p為真命題，則x²+2x-m=0有實數根，
∴△=4+4m≥0，解得：m≥-1，
即m的取值范圍為[-1，+∞）；
（II）若命題q為假命題，則
（1）m=0時，不合題意；          
（2）m＞0時，△=m²-4m≥0，解得：m≥4；       
（3）m＜0時，符合題意．                
綜上：實數m的取值范圍為（-∞，0）∪[4，+∞）．
（III）由（ I）得p為真命題時，m≥-1；p為假命題時，m＜-1，
由（II）得q為真命題時，0≤m＜4；q為假命題時，m＜0或m≥4，
∵p∨q為真命題，且p∧q為假命題，∴“p真，q假”或“p假，q真”
∴

m≥-1 m＜0或m≥4

或

m＜-1 0≤m＜4

，
解得實數m的取值范圍為[-1，0）∪[4，+∞）．

點評：本題考查了復合命題的真假，考查了二次函數的性質，考查了分類討論思想，是一道基礎題．