Question

【題目】已知橢圓：的左、右焦點分別為，右頂點為，且過點，圓是以線段為直徑的圓，經(jīng)過點且傾斜角為的直線與圓相切.

（1）求橢圓及圓的方程；

（2）是否存在直線，使得直線與圓相切，與橢圓交于兩點，且滿足？若存在，請求出直線的方程，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）橢圓的方程為，圓的方程為；（2）不存在

【解析】分析：（1）由題意得，再根據(jù)橢圓過點得到關(guān)于的方程組，求解后可得橢圓和圓的方程．（2）先假設(shè)存在直線滿足條件．（ⅰ）當(dāng)直線斜率不存在時，可得直線方程為，求得點的坐標(biāo)后驗證可得；（ⅱ）當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立消元后得到一元二次方程，結(jié)合根據(jù)系數(shù)的關(guān)系可得

不成立．從而可得不存在直線滿足題意．

詳解：(1)由題意知,,，圓的方程為

由題可知，解得 ，

所以橢圓的方程為，圓的方程為.

（2）假設(shè)存在直線滿足題意.

由，可得，故．

（ⅰ）當(dāng)直線的斜率不存在時，此時的方程為．

當(dāng)直線時，可得

所以．

同理可得，當(dāng)時，.

故直線不存在．

（ⅱ）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)方程為，

因為直線與圓相切，

所以，整理得①

由消去y整理得，

設(shè)，

則，，

因為，

所以，

則，即，

所以，

所以，

整理得②

由①②得，此時方程無解.

故直線不存在．

由（i）（ii）可知不存在直線滿足題意.