Question

已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，E、F分別是AB、PD的中點，若二面角P-CD-A為60°，且AD=2，AB=4．
（Ⅰ）求證：AF∥平面PEC；
（Ⅱ）求直線PA與平面PED所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）取PC中點M，連接FM，EM，根據(jù)線面平行的判定定理只需證明AF∥EM；
（Ⅱ）首先證明∠PDA就是二面角P-CD-A的平面角，在根據(jù)解三角形，求得PD=PE，取DE的中點G，連接AG，PG，得到∠PGA就是直線PA與平面PED所成角，再解三角形即可

解答： 解：（Ⅰ）取PC中點M，連接FM，EM，
∵F、M分別為PD、PC的中點，∴FM∥DC，F(xiàn)M=

1

2

DC，
又E為AB的中點，∴AE∥DC，AE=DC，
∴AE∥FM，AE=

1

2

FM，∴四邊形AFME為平行四邊形，
∴AF∥ME，又AF?平面PEC，ME?平面PEC，
∴AF∥平面PEC．
（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，PA?平面PAD
∴平面PAD⊥平面ABCD，
∵底面ABCD是矩形，
∴AB∥CD，CD⊥AD，AD⊥CD
∴CD⊥PD，
∴∠PDA就是二面角P-CD-A的平面角，
即∠PDA=60°，
∵AD=2，
∴PA=2

3

，PD=4，
又∵AE=

1

2

AB=2，
∴PE=

PA2+AE2

=4，
∴PD=PE，
取DE的中點G，連接AG，PG，
∴PG⊥DE，AG⊥DE，
∴∠PGA就是直線PA與平面PED所成角，
在Rt△ADE中，AG=

2

2

AD=

2

，
在Rt△PAG中，PG=

PA2+AG2

=

14

，
∴sin∠PGA=

PA

PG

=

2 3

14

=

42

7

點評：本題考查線面平行、面面平行的判定及面面角，線面角的求解，考查學生的推理論證能力，解題關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的定義、定理，屬于中檔題