【題目】對任意正整數(shù)，若存在數(shù)列，滿足，其中，則稱數(shù)列為正整數(shù)的生成數(shù)列，記為.

（1）寫出2018的生成數(shù)列；

（2）求證：對任意正整數(shù)，存在唯一的生成數(shù)列；

（3）求生成數(shù)列的所有項(xiàng)的和.

【答案】（1）數(shù)列為；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）根據(jù)得到答案.

（2）只需證明兩個(gè)不同的項(xiàng)生成數(shù)列表示的正整數(shù)不同，類推可得的充要條件是生成數(shù)列和相同，得到證明

（3）根據(jù)得到通項(xiàng)

，計(jì)算得到答案.

（1），

所以數(shù)列為；

（2）對于恰有項(xiàng)的生成數(shù)列，其表示的正整數(shù)最小值為，

表示的正整數(shù)最大值為

即項(xiàng)的不同生成數(shù)列共有

而滿足的正整數(shù)恰好有個(gè)

下面只需證明兩個(gè)不同的項(xiàng)生成數(shù)列表示的正整數(shù)不同，

設(shè)生成數(shù)列和表示的數(shù)為A和B，若，

即，同理，若有，也可得.

依次類推可得的充要條件是生成數(shù)列和相同.

綜上可得，對任意正整數(shù)，存在唯一的生成數(shù)列 .

（3）因?yàn)?/span>

所以

即的通項(xiàng)為

故所有項(xiàng)的和為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的極大值為16，極小值為－16.

（1）求和的值；

（2）若過點(diǎn)可作三條不同的直線與曲線相切，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面，，.

（1）證明：平面；

（2）若四棱錐的體積為，求的面積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】網(wǎng)購是現(xiàn)在比較流行的一種購物方式，現(xiàn)隨機(jī)調(diào)查50名個(gè)人收入不同的消費(fèi)者是否喜歡網(wǎng)購，調(diào)查結(jié)果表明：在喜歡網(wǎng)購的25人中有18人是低收入的人，另外7人是高收入的人，在不喜歡網(wǎng)購的25人中有6人是低收入的人，另外19人是高收入的人.

喜歡網(wǎng)購

不喜歡網(wǎng)購

總計(jì)

低收入的人

高收入的人

總計(jì)

（Ⅰ）試根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，并用獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想，指出有多大把握認(rèn)為是否喜歡網(wǎng)購與個(gè)人收入高低有關(guān)系；

（Ⅱ）將5名喜歡網(wǎng)購的消費(fèi)者編號為1、2、3、4、5，將5名不喜歡網(wǎng)購的消費(fèi)者編號也記作1、2、3、4、5，從這兩組人中各任選一人進(jìn)行交流，求被選出的2人的編號之和為2的倍數(shù)的概率.

參考公式：

參考數(shù)據(jù)：

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知四棱錐，底面為菱形，平面，，分別是的中點(diǎn)．

1證明：；

2若為上的動點(diǎn)，與平面所成最大角的正切值為，求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（，為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線經(jīng)過點(diǎn)，曲線的直角坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線的普通方程，曲線的極坐標(biāo)方程；

（2）若，是曲線上兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且時(shí)，，給出下列結(jié)論：①；②函數(shù)在上是增函數(shù)；③函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱；④若，則關(guān)于的方程在上的所有根之和為.則其中正確命題的序號為____________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某地要建造一個(gè)邊長為2（單位：）的正方形市民休閑公園，將其中的區(qū)域開挖成一個(gè)池塘，如圖建立平面直角坐標(biāo)系后，點(diǎn)的坐標(biāo)為，曲線是函數(shù)圖像的一部分，過邊上一點(diǎn)在區(qū)域內(nèi)作一次函數(shù)（）的圖像，與線段交于點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），且線段與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，四邊形為綠化風(fēng)景區(qū).

（1）求證：；

（2）設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

①用表示、兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

②將四邊形的面積表示成關(guān)于的函數(shù)，并求的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)，已知函數(shù)，.

（Ⅰ）設(shè)，求在上的最大值.

（Ⅱ）設(shè)，若的極大值恒小于0，求證：.

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