Question

橢圓C的兩焦點坐標(biāo)是F（±

3

，0），且經(jīng)過點（

3

，

1

2

）
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知點N的坐標(biāo)為N（1，1），若M是直線x+4y=0上一動點，且與原點O不重合，過M作直線，交橢圓C于P、Q兩點，且M平分線段PQ，求△NPQ的面積的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)出橢圓方程，利用橢圓C的兩焦點坐標(biāo)是F（±

3

，0），且經(jīng)過點（

3

，

1

2

），建立方程組，求出a，b，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）利用點差法確定PQ的斜率，可得方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理求出|PQ|，求出點N（1，1）到直線PQ的距離，表示出△NPQ的面積，利用配方法可求最大值．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
∵橢圓C的兩焦點坐標(biāo)是F（±

3

，0），且經(jīng)過點（

3

，

1

2

）
∴

a2-b2=3 3 a2 + 1 4 b2 =1

∴a=2，b=1
∴橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）由題意，設(shè)M（-4t，t），則

(-4t)2

4

+t2＜1⇒t2∈(0，

1

5

)
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=-8t，y₁+y₂=2t．
由題意得：

x 2 1 +4 y 2 1 =4 x 2 2 +4 y 2 2 =4

⇒(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0⇒kPQ=

y1-y2

x1-x2

=-

x1+x2

4(y1+y2)

=-

-8t

4•2t

=1．
設(shè)直線PQ的方程為y-t=x+4t，即y=x+5t，代入方程x²+4y²=4
得：5y²-10ty+25t²-4=0．則y₁+y₂=2t，y1y2=5t2-

4

5

∴|PQ|=

2

|y1-y2|=

2

•

(y1+y2)2-4y1y2

=4

2

•

1 5 -t2

．
點N（1，1）到直線PQ的距離：d=

|5t|

2

．
∴S△NPQ=

1

2

|PQ|•d=

1

2

•4

2

•

1 5 -t2

•

|5t|

2

=10

-t4+ 1 5 t2

=10

-(t2- 1 10 )2+ 1 100

由t2∈(0，

1

5

)，則0＜S_△NPQ≤1．
即：△NPQ的面積的取值范圍是（0，1]

點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．