Question

已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且是PB的中點．
（1）判斷在PD上是否存在一點E，使面ABE⊥面PCD，并說明理由；
（2）求面AMC與面BMC所成的二面角的大�。�
（3）求點D到面MAC的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)，證出CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD．在△PAD中，取PD的中點E，可得AE⊥PD，結(jié)合AE⊥CD，得AE⊥平面PCD，所以平面ABE⊥平面PCD，得存在PD的中點E，使得平面ABE⊥平面PCD；
（2）作AN⊥CM，垂足為N，連接BN，用三角形全等證出BN⊥CM，得∠ANB為面AMC與面BMC所成的二面角的平面角．△ANB中利用余弦定理，算出，即得面AMC與面BMC所成的二面角的大�。�
（3）求出點M到平面ACD的距離h₁=PA=，設點D到面MAC的距離為h₂．三棱錐M-ADC中，由等體積轉(zhuǎn)換得=，代入數(shù)據(jù)化簡整理，即可得到點D到面MAC的距離h₂．
解答：解：（1）∵PA⊥底面ABCD，CD⊥AD
∴PA⊥CD，
∵AD⊥CD，PA、AD是平面PAD內(nèi)的相交直線
∴CD⊥平面PAD，得CD⊥PD
在△PAD中，取PD的中點E，
∵△PAD中，PA=AD，∴AE⊥PD，
∵CD⊥平面PAD，AE?平面PAD，∴AE⊥CD，
∵PD、CD是平面PCD內(nèi)的相交直線，∴AE⊥平面PCD
∵AE?面ABE，∴面ABE⊥面PCD，
即在PD上存在一點E，且E是PD的中點，使得面ABE⊥面PCD
（2）作AN⊥CM，垂足為N，連接BN
在Rt△PAB中，AM=MB且AC=CB，
∴△AMC≌△BMC，可得BN⊥CM，
因此，∠ANB為面AMC與面BMC所成的二面角的平面角
∵CB⊥AC，PA⊥平面ABCD，∴CB⊥PC
在Rt△PCB中，CM=MB，可得CM=AM=PB=
在等腰△AMC中，
∴，
又∵AB=2，∴
因此，面AMC與面BMC所成二面角的大小為．
（3）點M到平面ACD的距離h₁=PA=，設點D到面MAC的距離為h₂
S_△ACD=×AD×DC=，S_△ACM=×CM×AN=
∵由三棱錐的體積公式，得V_M-ACD=V_D-ACM，
∴，可得，解之得
故點D到面MAC的距離為．
點評：本題在特殊的四棱錐中，求二面角的大小并求點到平面的距離，著重考查了空間垂直位置關系的證明、二面角的平面角和錐體體積公式求點面距離等知識，屬于中檔題．