Question

已知點A（-2，0）、B（2，0），動點P滿足∠APB=2θ（θ∈（0，

π

2

））．給出以下命題：
①當θ=

π

4

時，動點P的軌跡方程為x²+y²=4，y≠0；
②若θ（θ≠

π

4

）為定值，則點P的軌跡是以Q（0，

2

tan2θ

）為圓心、QA為半徑的一段圓��；
③若|PA|•|PB|（cos²θ-

1

2

）=2，則動點P的軌跡方程為x²+y²=8；
④若動點P恰在橢圓

x2

b2+4

+

y2

b2

=1（b＞0）上，則△PAB的面積為b²tanθ．
其中，正確說法的序號為

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用,直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：對四個選項，進行分析，即可得出結(jié)論．

解答： 解：①當θ=

π

4

時，AP⊥BP，動點P的軌跡是以原點為圓心，2為半徑的圓，方程為x²+y²=4，y≠0，正確；
②若θ（θ≠

π

4

）為定值，則tan2θ=

y x-2 - y x+2

1+ y x-2 • y x+2

=

4y

x2+y2-4

，∴點P的軌跡是以Q（0，

2

tan2θ

）為圓心、QA為半徑的圓，故不正確；
③若|PA|•|PB|（cos²θ-

1

2

）=2，則|PA|•|PB|cos2θ=4，∴PA²+PB²-AB²=8，∴PA²+PB²=24，可得x²+y²=8，動點P的軌跡方程為x²+y²=8，正確；
④若動點P恰在橢圓

x2

b2+4

+

y2

b2

=1（b＞0）上，點A（-2，0）、B（2，0），△PAB為焦點三角形，則△PAB的面積為b²tanθ，正確．
故答案為：①③④

點評：本題考查橢圓方程，考查圓的方程，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．