Question

（2012•唐山二模）已知f(x)=

1

2

x

2

-

a

2

lnx，a＞0．
（I）求函數(shù)f（x）的最小值；
（ II）（i）設(shè)0＜t＜a，證明：f（a+t）＜f（a-t）．
（ii）若f（x₁）=f（x₂），且x₁≠x₂．證明：x₁+x₂＞2a．

Answer 1

分析：（Ⅰ）確定函數(shù)的定義域，并求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，可得x=a時(shí)，f（x）取得極小值也是最小值；
（Ⅱ）（�。�構(gòu)造函數(shù)g（t）=f（a+t）-f（a-t），當(dāng)0＜t＜a時(shí)，求導(dǎo)函數(shù)，可知g（t）在（0，a）單調(diào)遞減，所以g（t）＜g（0）=0，即可證得；
（ⅱ）由（Ⅰ），f（x）在（0，a）單調(diào)遞減，在（a，+∞）單調(diào)遞增，不失一般性，設(shè)0＜x₁＜a＜x₂，所以0＜a-x₁＜a，利用（ⅰ）即可證得結(jié)論．

解答：（Ⅰ）解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）．求導(dǎo)數(shù)，可得f′（x）=x-

a2

x

=

(x+a)(x-a)

x

．…（1分）
當(dāng)x∈（0，a）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（a，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
當(dāng)x=a時(shí)，f（x）取得極小值也是最小值f（a）=

1

2

a²-a²lna．…（4分）
（Ⅱ）證明：（ⅰ）設(shè)g（t）=f（a+t）-f（a-t），則
當(dāng)0＜t＜a時(shí)，g′（t）=f′（a+t）+f′（a-t）=a+t-

a2

a+t

+a-t-

a2

a-t

=

2at2

t2-a2

＜0，…（6分）
所以g（t）在（0，a）單調(diào)遞減，g（t）＜g（0）=0，即f（a+t）-f（a-t）＜0，
故f（a+t）＜f（a-t）．…（8分）
（ⅱ）由（Ⅰ），f（x）在（0，a）單調(diào)遞減，在（a，+∞）單調(diào)遞增，
不失一般性，設(shè)0＜x₁＜a＜x₂，
因0＜a-x₁＜a，則由（�。�，得f（2a-x₁）=f（a+（a-x₁））＜f（a-（a-x₁））=f（x₁）=f（x₂），…（11分）
又2a-x₁，x₂∈（a，+∞），
故2a-x₁＜x₂，即x₁+x₂＞2a．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，考查不等式的證明，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性．