Question

（2012•河南模擬）某高中社團進行社會實踐，對[25，55]歲的人群隨機抽取n人進行了一次是否開通“微博”的調查，若開通“微博”的為“時尚族”，否則稱為“非時尚族”．通過調查分別得到如圖1
所示統計表和如圖2所示各年齡段人數頻率分布直方圖：


請完成以下問題：
（1）補全頻率直方圖，并求n，a，p的值
（2）從[40，45）歲和[45，50）歲年齡段的“時尚族”中采用分層抽樣法抽取18人參加網絡時尚達人大賽，其中選取3人作為領隊，記選取的3名領隊中年齡在[40，45）歲得人數為X，求X的分布列和數學期望E（X）

Answer 1

分析：（1）根據所求矩形的面積和為1求出第二組的頻率，然后求出高，畫出頻率直方圖，求出第一組的人數和頻率從而求出n，根據第二組的頻率以及人數，求出p的值，然后求出第四組的頻率和人數，從而求出a的值；
（2）因為[40，45）歲年齡段的“時尚族”與[45，50）歲年齡段的“時尚族”的比值為2：1，所以采用分層抽樣法抽取18人，[40，45）歲中有12人，[45，50）歲中有6人，隨機變量X服從超幾何分布，X的取值可能為0，1，2，3，分別求出相應的概率，列出分布列，根據數學期望公式求出期望即可．

解答：解：（1）第二組的頻率為1-（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，
所以高為

0.3

5

=0.06．頻率直方圖如下：
       （2分）
第一組的人數為

120

0.6

=200，頻率為0.04×5=0.2，所以n=

200

0.2

=1000，（3分）
所以第二組的人數為1000×0.3=300，p=

195

300

=0.65，（4分）
第四組的頻率為 0.03×5=0.15，第四組的人數為1000×0.15=150，
所以a=150×0.4=60．      （5分）
（2）因為[40，45）歲與[45，50）歲年齡段的“時尚族”的比值為60：30=2：1，
所以采用分層抽樣法抽取18人，[40，45）歲中有12人，[45，50）歲中有6人．   （6分）
隨機變量X服從超幾何分布．
P（X=0）=

C 0 12 C 3 6

C 3 18

=

5

204

，P（X=1）=

C 1 12 C 2 6

C 3 18

=

15

68

，
P（X=2）=

C 2 12 C 1 6

C 3 18

=

33

68

，P（X=3）=

C 3 12 C 0 6

C 3 18

=

55

204

所以隨機變量X的分布列為

X	0	1	2	3
P	5 204	15 68	33 68	55 204

（10分）
∴數學期望 E（X）=0×

5

204

+1×

15

68

+2×

33

68

+3×

55

204

=2（12分）

點評：本題重點考查頻率分布直方圖，離散型隨機變量的分布列和數學期望，同時考查了超幾何分布的概念和計算能力，屬于中檔題．