Question

己知函數(shù)，其中

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若直線x-y-l=0是曲線y=的切線，求實(shí)數(shù)的值；

（3）設(shè)，求g(x)在區(qū)間上的最大值（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）

 

Answer 1

（1）的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）2

【解析】

試題分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)，令，解不等式并和定義域求交集，得遞增區(qū)間；令，解不等式并和定義域求交集，得遞減區(qū)間；（2）本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，該類問題的關(guān)鍵是設(shè)切點(diǎn)，利用切點(diǎn)在曲線上，切點(diǎn)在切線上，以及聯(lián)立求參數(shù)的值；（3）求得，令，得，討論根與定義域的位置關(guān)系，當(dāng)和時(shí)，函數(shù)在定義域，利用單調(diào)性求最值，當(dāng)時(shí)，將定義域分段，分別討論導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，判斷函數(shù)大致圖象，并求得最值．

試題解析：（1），（）， 1分

在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，．

所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是和，單調(diào)遞增區(qū)間是． 3分

（2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則

解得，． 6分

（3），則， 7分

解，得，

當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上，為遞增函數(shù)，

所以最大值為． 8分

當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上，為遞減函數(shù)，

所以最大值為． 9分

當(dāng)，即時(shí)，的最大值為和中較大者；

，解得，

所以，時(shí)，最大值為，

時(shí)，最大值為． 11分

綜上所述，當(dāng)時(shí)，最大值為，

當(dāng)時(shí)，的最大值為． 12分

考點(diǎn)：１、導(dǎo)數(shù)在單調(diào)性上的應(yīng)用；2、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、最值；3、導(dǎo)數(shù)的幾何意義．