Question

20．已知函數(shù)f（x）=cos（$\frac{2π}{3}$x）+（a-1）sin（$\frac{π}{3}$x）+a，g（x）=3^x-x，若f（g（x））≤0對任意的x∈[0，1]恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，$\sqrt{3}$-1]
• B． （-∞，0]
• C． [0，$\sqrt{3}$-1]
• D． （-∞，1-$\sqrt{3}$]

Answer 1

分析 利用導數(shù)求出函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間，得到函數(shù)在[0，1]上的值域，令t=g（x），則t∈[1，2]，把問題轉(zhuǎn)化為f（t）≤0對任意t∈[1，2]恒成立，即cos（$\frac{2π}{3}$t）+（a-1）sin（$\frac{π}{3}$t）+a≤0對任意t∈[1，2]恒成立，分離參數(shù)a，得a≤$\frac{sin\frac{π}{3}t-cos\frac{2πt}{3}}{1+sin\frac{π}{3}t}$=2sin$\frac{π}{3}t$-1，由三角函數(shù)的性質(zhì)求出h（t）=2sin$\frac{π}{3}t$-1，t∈[1，2]的最小值得答案．

解答 解：g（x）=3^x-x，x∈[0，1]，g′（x）=3^xln3-1在[0，1]上為增函數(shù)，
則g′（x）≥g′（0）=ln3-1＞0，
則函數(shù)g（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，
∴g（x）在x∈[0，1]上的值域為[1，2]，
令t=g（x），則t∈[1，2]，
∵f[g（x）]≤0對x∈[0，1]恒成立，
∴f（t）≤0對任意t∈[1，2]恒成立，即cos（$\frac{2π}{3}$t）+（a-1）sin（$\frac{π}{3}$t）+a≤0對任意t∈[1，2]恒成立，
分離參數(shù)a，得a≤$\frac{sin\frac{π}{3}t-cos\frac{2πt}{3}}{1+sin\frac{π}{3}t}$=2sin$\frac{π}{3}t$-1，
令h（t）=2sin$\frac{π}{3}t$-1，t∈[1，2]，
則h（t）_min=2sin$\frac{π}{3}$-1=$\sqrt{3}$-1，
∴a$≤\sqrt{3}-1$，
則實數(shù)a的取值范圍是（-∞，$\sqrt{3}$-1]，
故選：A．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導數(shù)求函數(shù)的最值，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．