Question

一動(dòng)圓與圓x²+y²-2x=0外切,同時(shí)與y軸相切,動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程;

(2)若過(guò)點(diǎn)A(4,0)的直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn),求證:以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn).

Answer 1

(1)解:設(shè)動(dòng)圓圓心為M(x,y)(x≠0),

則由題意,得=|x|+1,                                           

平方化簡(jiǎn),得y²-2x=2|x|.                                                       ①

當(dāng)x＞0時(shí)，由①得y²=4x;當(dāng)x＜0時(shí),由①得y=0.

故曲線C的方程為y²=4x(x＞0)和y=0(x＜0).                                 

〔另法提示:由題意可得動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)(1,0)的距離比到y(tǒng)軸的距離大1.若點(diǎn)M在y軸右側(cè),則點(diǎn)M到點(diǎn)(1,0)的距離等于點(diǎn)M到直線x=-1的距離,此時(shí)點(diǎn)M的軌跡為拋物線的一部分,方程為y²=4x(x＞0);若點(diǎn)M在y軸右側(cè),此時(shí)點(diǎn)M的軌跡為x軸的負(fù)半軸,方程為y=0(x＜0)〕

(2)證明:設(shè)l:x=my+4,代入y²=4x(x＞0)，

消去x，得y²-4my-16=0.                                                    

設(shè)A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),則y₁y₂=-16,x₁x₂==16.

=x₁x₂+y₁y₂=16-16=0,

∴.

故以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn).                                          

〔另法提示一：利用點(diǎn)斜式方程來(lái)證明，但必須驗(yàn)證斜率不存在的情形，否則扣1分；二：也可由k_OA·k_OB==-1來(lái)證明OA⊥OB〕。