19．已知雙曲線的中心在坐標原點，如果左焦點F與右頂點A以及虛軸上頂點B構(gòu)成直角三角形，則其離心率為$\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$，稱此雙曲線為“黃金雙曲線”．類比“黃金雙曲線”可推知“黃金橢圓”的離心率為$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$．

分析 由題意可得，F(xiàn)A2=FB2+BA2，把該式轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，b，c的方程，然后利用a2=b2+c2消掉b，兩邊再同除以a2可得e的二次方程，解出即可．

解答 解：由題意可得，F(xiàn)A2=FB2+BA2，即（a+c）2=a2+a2+b2，即（a+c）2=2a2+a2-c2，
整理得，a2=c2+ac，兩邊同除以a2，得1=e2+e，解得e=$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)、基本量的求解，屬基礎(chǔ)題，正確理解新定義是關(guān)鍵．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

9．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞b＞0）$及點B（0，a），過B與橢圓相切的直線交x軸的負半軸于點A，F(xiàn)為橢圓的右焦點，則∠ABF=（　　）
A．60°B．90°C．120°D．150°

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

10．如圖，橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{1}{2}$，其左焦點到橢圓上點的最遠距離為3，點P（2，1）為橢圓外一點，不過原點O的直線l與C相交于A，B兩點，且線段AB被直線OP平分
（1）求橢圓C的標準方程
（2）求△ABP面積最大值時的直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

7．定義：在平面內(nèi)，點P到曲線Γ上的點的距離的最小值稱為點P到曲線Γ的距離．在平面直角坐標系xOy中，已知圓M：${（{x-\sqrt{2}}）^2}+{y^2}=12$及點$A（{-\sqrt{2}，0}）$，動點P到圓M的距離與到A點的距離相等，記P點的軌跡為曲線W．
（Ⅰ）求曲線W的方程；
（Ⅱ）過原點的直線l（l不與坐標軸重合）與曲線W交于不同的兩點C，D，點E在曲線W上，且CE⊥CD，直線DE與x軸交于點F，設(shè)直線DE，CF的斜率分別為k1，k2，求$\frac{k_1}{k_2}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

14．（1）已知x，y都是正實數(shù)，求證：x3+y3≥x2y+xy2；
（2）已知a，b，c都是正實數(shù)，求證：a3+b3+c3≥$\frac{1}{3}$（a2+b2+c2）（a+b+c）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

4．某程序框圖如圖所示，現(xiàn)輸入如下四個函數(shù)，則可以輸出的函數(shù)是（　�。�
A．f（x）=x2B．$f（x）=\frac{1}{x}$C．f（x）=exD．?（x）=x7-x

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

11．已知集合A={x|x2-5x+4＞0}，集合B={x|y=lg（x-2）}，則（∁RA）∩B=（　　）
A．（2，4]B．[2，4]C．[4，+∞）D．（2，+∞）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

8．已知函數(shù)f（x）=lnx+x2-2ax+1．（a為常數(shù)）．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若存在x0∈（0，1]，使得對任意的a∈（-2，0]，不等式$2m{e^a}+f（{x_0}）＞{a^2}+2a+4$（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）都成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

9．已知數(shù)列{an}滿足${a_1}=3，{a_n}=\frac{n}{n-1}{a_{n-1}}（n≥2）$．
（1）寫出數(shù)列{an}的前三項；
（2）求數(shù)列{an}的通項公式．

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