Question

有甲、乙兩種相互獨(dú)立的預(yù)防措施可以降低某地區(qū)某災(zāi)情的發(fā)生．單獨(dú)采用甲、乙預(yù)防措施后，災(zāi)情發(fā)生的概率分別為0.08和0.10，且各需要費(fèi)用60萬(wàn)元和50萬(wàn)元．在不采取任何預(yù)防措施的情況下發(fā)生災(zāi)情的概率為0.3．如果災(zāi)情發(fā)生，將會(huì)造成800萬(wàn)元的損失．（設(shè)總費(fèi)用=采取預(yù)防措施的費(fèi)用+可能發(fā)生災(zāi)情損失費(fèi)用）
（ I）若預(yù)防方案允許甲、乙兩種預(yù)防措施單獨(dú)采用，他們各自總費(fèi)用是多少？
（ II）若預(yù)防方案允許甲、乙兩種預(yù)防措施單獨(dú)采用、聯(lián)合采用或不采用，請(qǐng)確定預(yù)防方案使總費(fèi)用最少的那個(gè)方案．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（ I）若單獨(dú)采用甲預(yù)防措施，可能發(fā)生災(zāi)情的損失費(fèi)用的期望值為0×0.92+800×0.08=64萬(wàn)元，若單獨(dú)采用乙預(yù)防措施，可能發(fā)生災(zāi)情的損失費(fèi)用的期望值為0×0.9+800×0.1=80萬(wàn)元，由此能求出結(jié)果．
（ II）若實(shí)施聯(lián)合采用方案，設(shè)可能發(fā)生災(zāi)情的損失費(fèi)用為X，則X=0和800，由此能求出選擇聯(lián)合預(yù)防措施的方案總費(fèi)用最少．

解答： （本小題滿分12分）
解：（ I）若單獨(dú)采用甲預(yù)防措施，可能發(fā)生災(zāi)情的損失費(fèi)用的期望值為：
0×0.92+800×0.08=64（萬(wàn)元），（2分）
若單獨(dú)采用乙預(yù)防措施，可能發(fā)生災(zāi)情的損失費(fèi)用的期望值為
0×0.9+800×0.1=80（萬(wàn)元）．（4分）
所以，單獨(dú)采用甲預(yù)防措施的總費(fèi)用為124萬(wàn)元，
單獨(dú)采用乙預(yù)防措施的總費(fèi)用為130萬(wàn)元．（6分）
（ II）若實(shí)施聯(lián)合采用方案，設(shè)可能發(fā)生災(zāi)情的損失費(fèi)用為X，則X=0和800，
且P（X=800）=0.08×0.1=0.008，
P（X=0）=1-P（X=800）=0.992．
所以，可能發(fā)生災(zāi)情的損失費(fèi)用的期望值為6.4萬(wàn)元，因此總費(fèi)用為116.4萬(wàn)元．（9分）
若不采取措施，則可能發(fā)生災(zāi)情的損失費(fèi)用的期望值為
0×0.7+800×0.3=240萬(wàn)元．
可知此時(shí)的總費(fèi)用為240萬(wàn)元．（11分）
綜上，選擇聯(lián)合預(yù)防措施的方案總費(fèi)用最少．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率、隨機(jī)變量分布列以及數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的能力，考查數(shù)據(jù)處理能力，是中檔題．