Question

如圖，斜率為1的直線過拋物線y²＝2px(p>0)的焦點，與拋物線交于兩點A,B，M為拋物線弧AB上的動點．

（1）若｜AB｜＝8，求拋物線的方程；
（2）求的最大值

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：本題主要考查拋物線的標準方程及性質(zhì)、點到直線的距離、兩點間距離公式、韋達定理等數(shù)學知識，考查學生分析問題解決問題的能力和計算能力，考查數(shù)形結合思想.第一問，由已知條件得到直線AB的方程與拋物線聯(lián)立，消參得到關于x的方程，求出兩根之和，由拋物線的定義得|AB|的值，從而求出P的值；第二問，直線與拋物線聯(lián)立消去x，解出y，設出M點坐標，則可得到的取值范圍，利用點到直線的距離公式列出距離，由于點在直線上方，所以，再化簡距離的表達式，通過配方求最值，從而得到M點坐標，即可得到的面積.
試題解析：(1)由條件知l_AB：，則，消去y得，則x₁＋x₂＝3p，由拋物線定義得|AB|＝x₁＋x₂＋p＝4p.
又因為|AB|＝8，即p＝2，則拋物線的方程為.(5分)
(2)由(1)知|AB|＝4p，且l_AB：，
，消x得：，即，
設，則，
M到AB的距離，因為點M在直線AB的上方，所以，
所以，
當時，.
則.(12分)