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已知函數，y=g（x）為k（x）=lnx+a+1在x=1處的切線方程，若方程f（x）-g（x）=0有且只有兩個不相等的實數根，則實數a的取值范圍是（ ）
A．（-∞，1）
B．（-∞，1]
C．（0，1）
D．[0，+∞）
【答案】分析：由y=g（x）為k（x）=lnx+a+1在x=1處的切線方程，求得g（x）=x+a．我們在同一坐標系中畫出函數的圖象與函數y=x+a的圖象，利用數形結合，我們易求出滿足條件實數a的取值范圍．
解答：解：∵k（x）=lnx+a+1，
∴k′（x）=，k（1）=a+1，
∴k′（1）=1，
∴k（x）=lnx+a+1在x=1處的切線方程為y-a-1=x-1，
∴g（x）=x+a．
函數的圖象如圖所示，
當a＜1時，函數y=f（x）的圖象與函數y=x+a的圖象有兩個交點，
即方程f（x）=x+a有且只有兩個不相等的實數根．
所以實數a的取值范圍是（-∞，1）．
故選A．
點評：本題考查的知識點是根的存在性及根的個數的判斷，考查導數的幾何意義的應用．將方程f（x）=x+a根的個數，轉化為求函數零點的個數，并用圖象法進行解答是本題的關鍵．
練習冊系列答案
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已知函數f(x)=
3
sinωx+cos(ωx+
π
3
)+cos(ωx-
π
3
)-1(ω＞0，x∈R)，且函數f（x）的最小正周期為π．
（I）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）將函數f（x）昀圖象向右平移
π
6
個單位，得到函數了y=g（x）的圖象，求函數y=g(x)在[0，
π
2
]上的值域．

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-2
-2
．

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（1）求函數y=f（x）的解析式，并指出其定義域；
（2）若t=4，x∈[1，2]，且F（x）=g（x）-f（x）有最小值2，求實數a的值；
（3）已知0＜a＜1，當x∈[1，2]時，有f（x）≥g（x）恒成立，求實數t的取值范圍．

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（2013•濟寧二模）已知函數f（x）=2cosxcos（
π
6
-x）-
3
sin2x+sinxcosx．
（I）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）將函數，y=f（x）的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的
1
2
倍，縱坐標不變，得到函數，y=g（x）的圖象，求函數g（x）在（0，
π
4
）上的取值范圍．

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