Question

已知數(shù)列{a_n}是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，S_n為其前n項(xiàng)和，且滿足a_n²=S_2n-1，n∈N₊．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）數(shù)列{b_n}滿足b_n=

1

anan+1

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，首項(xiàng)為a₁，然后取n=1，n=2，將等式化成關(guān)于a₁與d的方程組，解之即可；
（II）將數(shù)列的通項(xiàng)進(jìn)行化簡(jiǎn)得b_n=

1

anan+1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，然后進(jìn)行求和，消項(xiàng)后可求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，首項(xiàng)為a₁，
在a_n²=S_2n-1中，令n=1，n=2，
得

a 2 1 =S1 a 2 2 =S3

   即

a 2 1 =a1 (a1+d)2=3a1+3d

      （4分）
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1．（6分）
（Ⅱ）∵b_n=

1

anan+1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，（8分）
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

n

2n+1

．  （10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式以及利用裂項(xiàng)求和法求數(shù)列的和，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．