設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x+a)-x2.
(Ⅰ)當(dāng)a=0時,求f(x)在(0,e]上的最大值;
(Ⅱ)若f(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù),求a的取值范圍;
(Ⅲ)是否存在實數(shù)a,使直線y=x為函數(shù)f(x)的圖象的一條切線,若存在,求a的值;否則,說明理由.
解:(Ⅰ)當(dāng)a=0時,f(x)=lnx-x
2,x>0,則

令f′(x)>0,可得0<x<

,∴f(x)在(0,

)上為增函數(shù),
同理可得f(x)在(

,+∞)上為減函數(shù)
∴當(dāng)x∈(0,e]時,f(x)最大值為f(

)=ln

-

(Ⅱ)∵f(x)=ln(x+a)-x
2,∴x∈[1,2]有x+a>0恒成立,∴a>-1
∵f(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù),∴x∈[1,2],f′(x)=

≤0恒成立
∴a≥

,
而

在[1,2]為減函數(shù),∴a≥

,
又a>-1,故a≥

為所求;
(Ⅲ)存在a=1,使直線y=x為函數(shù)f(x)的圖象的一條切線.理由如下:
設(shè)切點為P(x
0,y
0),則
∵f′(x
0)=1,∴

,∴

∵f(x
0)=x
0,∴

,∴

∴

令h(x)=x+x
2+ln(1+2x)(x>-

),∴h′(x)=1+2x+

>0
∴h(x)為增函數(shù),
又h(0)=0,∴h(x
0)=0
∴x
0=0
∴a=1.
分析:(Ⅰ)當(dāng)a=0時,f(x)=lnx-x
2,x>0,則

,利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù),確定函數(shù)的單調(diào)性,從而可求f(x)在(0,e]上的最大值;
(Ⅱ)f(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù),則x∈[1,2]有x+a>0恒成立,且x∈[1,2],f′(x)=

≤0恒成立,分離參數(shù),即可求a的取值范圍;
(Ⅲ)設(shè)切點為P(x
0,y
0),利用直線y=x為函數(shù)f(x)的圖象的一條切線,可得f′(x
0)=1,f(x
0)=x
0,由此可求得結(jié)論.
點評:本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用,考查函數(shù)的單調(diào)性與最值,考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查分離參數(shù)法的運用,屬于中檔題.