Question

17．已知函數(shù)f（x）=2sin2x（cos2x-sin2x）+1
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間和對稱中心；
（2）若f（x）得圖象C經(jīng)過向右平移$\frac{π}{4}$得函數(shù)g（x）的圖象，求g（x）的解析式，并求出當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{4}$]時，g（x）的最值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡f（x）的解析式為$\sqrt{2}$sin（4x+$\frac{π}{4}$），根據(jù)正弦函數(shù)圖象由此求得它的單調(diào)性及對稱中心；
（2）由函數(shù) y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求出g（x）的解析式，根據(jù)x的范圍求出函數(shù)的值域．

解答 解：（1）f（x）=2sin2x（cos2x-sin2x）+1，
=2sin2xcos2x-2sin²2x+1，
=sin4x+cos4x，
=$\sqrt{2}$sin（4x+$\frac{π}{4}$），
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤4x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，
解得：$\frac{kπ}{2}$-$\frac{3π}{16}$≤x≤$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{16}$，k∈Z，
則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[$\frac{kπ}{2}$-$\frac{3π}{16}$，$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{16}$]，k∈Z，
令4x+$\frac{π}{4}$=kπ，解得x=$\frac{kπ}{4}-\frac{π}{16}$，k∈Z，
故函數(shù)的對稱中心為（$\frac{kπ}{4}-\frac{π}{16}$，0），
（2）f（x）得圖象C經(jīng)過向右平移$\frac{π}{4}$得函數(shù)g（x）的圖象，
g（x）=$\sqrt{2}$sin[4（x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$]=$\sqrt{2}$sin（4x-$\frac{3π}{4}$），
∴g（x）=$\sqrt{2}$sin（4x-$\frac{3π}{4}$），
x∈[0，$\frac{π}{4}$]，4x-$\frac{3π}{4}$∈[-$\frac{3π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，
由正弦函數(shù)圖象可知：當(dāng)4x-$\frac{3π}{4}$=-$\frac{π}{2}$，x=$\frac{π}{16}$，取最小值-$\sqrt{2}$，
4x-$\frac{3π}{4}$=$\frac{π}{4}$時，即x=$\frac{π}{4}$，取最大值1．

點評 本題考查三角函數(shù)的化簡和求值，考查二倍角的正弦和余弦公式及兩角和輔助角公式，考查函數(shù)圖象變換，正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域的運用，考查運算能力，屬于中檔題．