Question

9．已知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，且公差不為0的等差數(shù)列，而等比數(shù)列{b_n}的前3項(xiàng)分別是a₁，a₂，a₆．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）如果b₁+b₂+b₃+…+b_n=5，求正整數(shù)n的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，由a₁，a₂，a₆成等比數(shù)列，求出d=3，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．…（6分）
（2）數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)b₁=a₁=1，公比為q=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=4，由此能求出正整數(shù)n的值．

解答 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，…（1分）
∵a₁，a₂，a₆成等比數(shù)列，∴${{a}_{2}}^{2}={a}_{1}{a}_{6}$，…（2分）
∴（1+d）²=1×（1+5d），
由d≠0，解得d=3，…（5分）
∴a_n=1+（n-1）×3=3n-2．…（6分）
（2）∵等比數(shù)列{b_n}的前3項(xiàng)分別是a₁，a₂，a₆．
∴數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)b₁=a₁=1，公比為q=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=4，…（7分）
由b₁+b₂+b₃+…+b_n=5，得：
b₁+b₂+b₃+…+b_n=$\frac{1-{4}^{n}}{1-4}$=5，
解得n=2．…（11分）
∴正整數(shù)n的值是2．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查等比數(shù)列的前幾項(xiàng)和為5的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．