Question

12．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）A＞0且ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$的部分圖象，如圖所示．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）已知f（2x₀）=-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，x₀∈（0，$\frac{5π}{6}$），求x₀的值；
（3）若函數(shù)h（x）=2f（x）-a在[0，$\frac{4π}{3}$]上有兩個不同的零點(diǎn)，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出φ的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）根據(jù)f（2x₀）=sin（2x₀+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，2x₀+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，2π），可得2x₀+$\frac{π}{3}$=$\frac{4π}{3}$ 或 2x₀+$\frac{π}{3}$=$\frac{5π}{3}$，由此求得x₀ 的值．
（3）由題意可得，令t=x+$\frac{π}{3}$，則y=sint 的圖象在[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{3}$]上和直線y=$\frac{a}{2}$ 有2個交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得a的范圍．

解答 解：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）A＞0
且ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$的部分圖象，
可得A=1，$\frac{1}{2}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{3}$+$\frac{π}{3}$，
∴ω=1，再結(jié)合五點(diǎn)法作圖可得1•（-$\frac{π}{3}$）+φ=0，
∴φ=$\frac{π}{3}$，f（x）=sin（x+$\frac{π}{3}$）．
（2）已知f（2x₀）=sin（2x₀+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
x₀∈（0，$\frac{5π}{6}$），∴2x₀+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，2π），
∴2x₀+$\frac{π}{3}$=$\frac{4π}{3}$ 或 2x₀+$\frac{π}{3}$=$\frac{5π}{3}$，∴x₀ =$\frac{π}{2}$或x₀ =$\frac{2π}{3}$．
（3）若函數(shù)h（x）=2f（x）-a在[0，$\frac{4π}{3}$]上有兩個不同的零點(diǎn)，
則方程f（x）=$\frac{a}{2}$在[0，$\frac{4π}{3}$]上有兩個不同的實(shí)數(shù)根，
即函數(shù)y=f（x）的圖象和直線y=$\frac{a}{2}$在[0，$\frac{4π}{3}$]上有兩個不同的交點(diǎn)．
由x∈[0，$\frac{4π}{3}$]，可得x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{3}$]，令t=x+$\frac{π}{3}$，
則y=sint 的圖象在[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{3}$]上和直線y=$\frac{a}{2}$ 有2個交點(diǎn)，如圖所示：
故有-1＜$\frac{a}{2}$≤-$\frac{\sqrt{3}}{2}$或 $\frac{\sqrt{3}}{2}$≤$\frac{a}{2}$＜1，即-2＜a≤-$\sqrt{3}$，或 $\sqrt{3}$≤a＜2．

點(diǎn)評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出φ的值，正弦函數(shù)的定義域和值域，正弦函數(shù)的圖象的特征，屬于中檔題．