Question

20．已知函數(shù)f（x）=sinx+acosx（a∈R）圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸是x=$\frac{π}{4}$，則函數(shù)g（x）=sinx+f（x）的最大值為（　�。�

• A． 5
• B． 3
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由題意f（x）=$\sqrt{1+{a}^{2}}$sin（x+θ），f（$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$a=±$\sqrt{1+{a}^{2}}$，求出a=1，從而函數(shù)g（x）=sinx+f（x）=2sinx+cosx=$\sqrt{5}sin（x+α）$，由此能求出函數(shù)g（x）=sinx+f（x）的最大值．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=sinx+acosx（a∈R）圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸是x=$\frac{π}{4}$，
∴f（x）=$\sqrt{1+{a}^{2}}$sin（x+θ），f（$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$a=±$\sqrt{1+{a}^{2}}$，
解得a=1，
∴函數(shù)g（x）=sinx+f（x）=2sinx+cosx=$\sqrt{5}sin（x+α）$，
∴函數(shù)g（x）=sinx+f（x）的最大值為$\sqrt{5}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的最大值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意三角函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．