Question

(本小題滿分14分)  設函數.

（Ⅰ）當時，求函數的單調區(qū)間和極大值點；

（Ⅱ）已知，若函數的圖象總在直線的下方，求的取值范圍；

（Ⅲ）記為函數的導函數．若，試問：在區(qū)間上是否存在（）個正數…，使得成立？請證明你的結論.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為，極大值點

（Ⅱ）.

（Ⅲ）在區(qū)間上不存在使得成立的（）個正數….

【解析】（1）當時，求出的導函數，令，列表研究其單調性和極值；

（2）只要求出的最大值小于即可，求出函數的導數，研究單調性可得到的最大值就是其極大值，解不等式得的取值范圍；

（3）時，，，要研究的單調性，記，其中.，即在上為增函數.又，所以，對任意的，總有，

.。故不存在。

解：（Ⅰ）當時，，

令得到，列表如下：

	＋	０	－
		極大值

所以的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為

極大值點

（Ⅱ），，.

      令，則.

       當時，；當時，.

      故為函數的唯一極大值點，

所以的最大值為=.

由題意有，解得.

     所以的取值范圍為.

（Ⅲ）當時，.     記，其中.

∵當時，，∴在上為增函數，

即在上為增函數.又，

所以，對任意的，總有.

所以，

又因為，所以.

故在區(qū)間上不存在使得成立的（）個正數….