Question

已知函數(shù)，則（ ）
A．函數(shù)f（x）的周期為2π
B．函數(shù)f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增
C．函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
D．函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

Answer 1

【答案】分析：將函數(shù)解析式去括號(hào)后，利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式求出函數(shù)的周期，即可對(duì)于選項(xiàng)A作出判斷；由x的范圍求出這個(gè)角的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得出函數(shù)的單調(diào)性，即可對(duì)于選項(xiàng)B作出判斷；由正弦函數(shù)的對(duì)稱軸為kπ+，k∈Z，即可對(duì)于選項(xiàng)C作出判斷；由正弦函數(shù)的對(duì)稱中心為kπ，k∈Z，即可對(duì)于選項(xiàng)D作出判斷．
解答：解：f（x）=cosxsinx-cos²x=sin2x-（cos2x+1）=sin（2x-）-，
∵ω=2，∴T=π，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
∵x∈[-，]，∴2x-∈[-，0]，
當(dāng)2x+∈[-，-]時(shí)，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)2x+∈[-，0]時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，
故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
令2x-=kπ+，k∈Z，解得：x=kπ+，k∈Z，
當(dāng)k=-1時(shí)，x=-，即函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=-對(duì)稱，故選項(xiàng)C正確；
令2x-=kπ，k∈Z，解得：x=kπ+，k∈Z，
∴當(dāng)k=0時(shí)，x=，可得函數(shù)圖象關(guān)于（，-）對(duì)稱，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，
故選C
點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，以及正弦函數(shù)的對(duì)稱性，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．