Question

3．函數(shù)f（x）=x|x-a|（x∈R，a∈R）
（1）若a=1，求證：函數(shù)f（x）不是偶函數(shù)；
（2）若x∈[0，2]，求f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）a=1時，便可得出f（x）=x|x-1|，進而可以求出f（-1），f（1），可看出f（-1）≠f（1），從而得出函數(shù)f（x）不是偶函數(shù)；
（2）去絕對值號得到$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{（x-\frac{a}{2}）^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}}&{x≥a}\\{-（x-\frac{a}{2}）^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}}&{x＜a}\end{array}\right.$，從而可討論a：a≤0，0＜a＜2，2≤a＜4，及a≥4，對于每種情況，根據(jù)x的范圍便可得出對應的解析式，由解析式直接便可得出該種情況的f（x）的最大值，或在該種情況里討論x的范圍，求出每個范圍f（x）的最大值再進行比較，即可得出該種情況f（x）的最大值．

解答 解：（1）證明：a=1時，f（x）=x|x-1|；
∴f（-1）=-2，f（1）=0；
∴f（-1）≠f（1）；
∴函數(shù)f（x）不是偶函數(shù)；
（2）$f（x）=x|x-a|=\left\{\begin{array}{l}{（x-\frac{a}{2}）^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}}&{x≥a}\\{-（x-\frac{a}{2}）^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}}&{x＜a}\end{array}\right.$；
∵x∈[0，2]；
∴①a≤0時，$f（x）=（x-\frac{a}{2}）^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}$；
∴x=2時，f（x）取最大值4-2a；
②0＜a＜2時，1）若x∈[0，a），則$f（x）=-（x-\frac{a}{2}）^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}$；
∴$x=\frac{a}{2}$時，f（x）取最大值$\frac{{a}^{2}}{4}$；
2）若x∈[a，2]，則$f（x）=（x-\frac{a}{2}）^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}$；
∴x=2時，f（x）取最大值4-2a；
∵0＜a＜2，解$\frac{{a}^{2}}{4}-（4-2a）≥0$得，$-4+4\sqrt{2}≤a＜2$；
∴$0＜a＜-4+4\sqrt{2}$時，f（x）的最大值為4-2a，$-4+4\sqrt{2}≤a＜2$時，f（x）的最大值為$\frac{{a}^{2}}{4}$；
③2≤a＜4時，$1≤\frac{a}{2}＜2$，$f（x）=-（x-\frac{a}{2}）^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}$；
1）若x∈[0，1），則x=1時，f（x）取最大值a-1；
2）若x∈[1，2），則x=$\frac{a}{2}$時，f（x）取最大值$\frac{{a}^{2}}{4}$；
∵2≤a＜4，∴$\frac{{a}^{2}}{4}-（a-1）=\frac{1}{4}（a-2）^{2}≥0$；
∴f（x）的最大值為$\frac{{a}^{2}}{4}$；
④a≥4時，$\frac{a}{2}≥2$，$f（x）=-（x-\frac{a}{2}）^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}$；
∴x=2時，f（x）取最大值2a-4；
設(shè)f（x）的最大值為g（a），則：
$g（a）=\left\{\begin{array}{l}{4-2a}&，{a＜-4+4\sqrt{2}}\\{\frac{{a}^{2}}{4}}&，{-4+4\sqrt{2}≤a＜4}\\{2a-4}&，{a≥4}\end{array}\right.$．

點評 考查偶函數(shù)的定義，判斷一個函數(shù)不是偶函數(shù)的方法，以及含絕對值函數(shù)的處理方法：去絕對值號，配方求二次函數(shù)最值的方法，以及作差比較法的運用．