分析 (1)a=1時,便可得出f(x)=x|x-1|,進而可以求出f(-1),f(1),可看出f(-1)≠f(1),從而得出函數(shù)f(x)不是偶函數(shù);
(2)去絕對值號得到$f(x)=\left\{\begin{array}{l}{(x-\frac{a}{2})^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}}&{x≥a}\\{-(x-\frac{a}{2})^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}}&{x<a}\end{array}\right.$,從而可討論a:a≤0,0<a<2,2≤a<4,及a≥4,對于每種情況,根據(jù)x的范圍便可得出對應的解析式,由解析式直接便可得出該種情況的f(x)的最大值,或在該種情況里討論x的范圍,求出每個范圍f(x)的最大值再進行比較,即可得出該種情況f(x)的最大值.
解答 解:(1)證明:a=1時,f(x)=x|x-1|;
∴f(-1)=-2,f(1)=0;
∴f(-1)≠f(1);
∴函數(shù)f(x)不是偶函數(shù);
(2)$f(x)=x|x-a|=\left\{\begin{array}{l}{(x-\frac{a}{2})^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}}&{x≥a}\\{-(x-\frac{a}{2})^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}}&{x<a}\end{array}\right.$;
∵x∈[0,2];
∴①a≤0時,$f(x)=(x-\frac{a}{2})^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}$;
∴x=2時,f(x)取最大值4-2a;
②0<a<2時,1)若x∈[0,a),則$f(x)=-(x-\frac{a}{2})^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}$;
∴$x=\frac{a}{2}$時,f(x)取最大值$\frac{{a}^{2}}{4}$;
2)若x∈[a,2],則$f(x)=(x-\frac{a}{2})^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}$;
∴x=2時,f(x)取最大值4-2a;
∵0<a<2,解$\frac{{a}^{2}}{4}-(4-2a)≥0$得,$-4+4\sqrt{2}≤a<2$;
∴$0<a<-4+4\sqrt{2}$時,f(x)的最大值為4-2a,$-4+4\sqrt{2}≤a<2$時,f(x)的最大值為$\frac{{a}^{2}}{4}$;
③2≤a<4時,$1≤\frac{a}{2}<2$,$f(x)=-(x-\frac{a}{2})^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}$;
1)若x∈[0,1),則x=1時,f(x)取最大值a-1;
2)若x∈[1,2),則x=$\frac{a}{2}$時,f(x)取最大值$\frac{{a}^{2}}{4}$;
∵2≤a<4,∴$\frac{{a}^{2}}{4}-(a-1)=\frac{1}{4}(a-2)^{2}≥0$;
∴f(x)的最大值為$\frac{{a}^{2}}{4}$;
④a≥4時,$\frac{a}{2}≥2$,$f(x)=-(x-\frac{a}{2})^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}$;
∴x=2時,f(x)取最大值2a-4;
設(shè)f(x)的最大值為g(a),則:
$g(a)=\left\{\begin{array}{l}{4-2a}&,{a<-4+4\sqrt{2}}\\{\frac{{a}^{2}}{4}}&,{-4+4\sqrt{2}≤a<4}\\{2a-4}&,{a≥4}\end{array}\right.$.
點評 考查偶函數(shù)的定義,判斷一個函數(shù)不是偶函數(shù)的方法,以及含絕對值函數(shù)的處理方法:去絕對值號,配方求二次函數(shù)最值的方法,以及作差比較法的運用.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | (-∞,2) | B. | [0,2) | C. | [2,+∞) | D. | (2,+∞) |
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A. | $\sqrt{3}$ | B. | $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ | C. | $\frac{\sqrt{5}}{2}$ | D. | $\frac{\sqrt{10}}{2}$ |
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