Question

19．正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=$\sqrt{2}$，AA₁=2，設(shè)四棱柱的外接球的球心為O，動(dòng)點(diǎn)P在正方形ABCD的邊長(zhǎng)，射線OP交球O的表面點(diǎn)M，現(xiàn)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著A→B→C→D→A運(yùn)動(dòng)一次，則點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為$\frac{4\sqrt{2}}{3}π$．

Answer 1

分析 由題意，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著A→B→C→D→A運(yùn)動(dòng)一次，則點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的路徑是四段大圓上的相等的弧，求出，∠AOB=$\frac{π}{3}$，利用弧長(zhǎng)公式，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著A→B→C→D→A運(yùn)動(dòng)一次，則點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的路徑是四段大圓上的相等的�。�
∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=$\sqrt{2}$，AA₁=2，
∴四棱柱的外接球的直徑為其對(duì)角線，長(zhǎng)度為$\sqrt{2+2+4}$=2$\sqrt{2}$，
∴四棱柱的外接球的半徑為$\sqrt{2}$，∴∠AOB=$\frac{π}{3}$，
∴AB所在大圓，所對(duì)的弧長(zhǎng)為$\frac{π}{3}•\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}π$，
∴點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為$\frac{4\sqrt{2}}{3}π$．
故答案為：$\frac{4\sqrt{2}}{3}π$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查弧長(zhǎng)公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的路徑是四段大圓上的相等的弧是關(guān)鍵．