在圓上任取一點(diǎn)
,設(shè)點(diǎn)
在
軸上的正投影為點(diǎn)
.當(dāng)點(diǎn)
在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),動(dòng)點(diǎn)
滿足
,動(dòng)點(diǎn)
形成的軌跡為曲線
.
(1)求曲線的方程;
(2)已知點(diǎn),若
、
是曲線
上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且滿足
,求
的取值范圍.
(1);(2)
.
【解析】
試題分析:(1)解法一是從條件得到點(diǎn)
為線段
的中點(diǎn),設(shè)點(diǎn)
,從而得到點(diǎn)
的坐標(biāo)為
,利用點(diǎn)
在圓
上,其坐標(biāo)滿足圓的方程,代入化簡(jiǎn)得到曲線
的方程;解法二是利用相關(guān)點(diǎn)法,設(shè)點(diǎn)
,點(diǎn)
,通過條件
確定點(diǎn)
與點(diǎn)
的坐標(biāo)之間的關(guān)系,并利用點(diǎn)
的坐標(biāo)表示點(diǎn)
的坐標(biāo),再借助點(diǎn)
在圓
上,其坐標(biāo)滿足圓的方程,代入化簡(jiǎn)得到曲線
的方程;(2)先利用條件
將
化簡(jiǎn)為
,并設(shè)點(diǎn)
,從而得到
的坐標(biāo)表達(dá)式,結(jié)合點(diǎn)
,將
的代數(shù)式化為以
的二次函數(shù),結(jié)合
的取值范圍,求出
的取值范圍.
試題解析:(1)解法1:由知點(diǎn)
為線段
的中點(diǎn).
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是
,則點(diǎn)
的坐標(biāo)是
.
因?yàn)辄c(diǎn)在圓
上,所以
.
所以曲線的方程為
;
解法2:設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是
,點(diǎn)
的坐標(biāo)是
,
由得,
,
.
因?yàn)辄c(diǎn)在圓
上,
所以
. ①
把,
代入方程①,得
.
所以曲線的方程為
;
(2)解:因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032004442307966186/SYS201403200445131421309149_DA.files/image028.png">,所以.
所以.
設(shè)點(diǎn),則
,即
.
所以,
因?yàn)辄c(diǎn)在曲線
上,所以
.
所以.
所以的取值范圍為
.
考點(diǎn):1.相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程;2.平面向量的數(shù)量積;3.二次函數(shù)的最值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
設(shè)點(diǎn)A為單位圓上一定點(diǎn),求下列事件發(fā)生的概率:
(1)在該圓上任取一點(diǎn)B,使AB間劣弧長(zhǎng)不超過;
(2)在該圓上任取一點(diǎn)B,使弦AB的長(zhǎng)度不超過。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年湖北武漢部分重點(diǎn)中學(xué)高二上學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)卷(帶解析) 題型:解答題
(本小題滿分14分) 已知在單位圓x²+y²=1上任取一點(diǎn)M,作MN⊥x軸,垂足為N, = 2
.
(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡的方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn),點(diǎn)
為曲線
上任一點(diǎn),求點(diǎn)
到點(diǎn)
距離的最大值
;
(Ⅲ)在的條件下,設(shè)△
的面積為
(
是坐標(biāo)原點(diǎn),
是曲線
上橫坐標(biāo)為
的點(diǎn)),以
為邊長(zhǎng)的正方形的面積為
.若正數(shù)
滿足
,問
是否存在最小值,若存在,請(qǐng)求出此最小值,若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014屆湖北武漢部分重點(diǎn)中學(xué)高二上學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分14分) 已知在單位圓x²+y²=1上任取一點(diǎn)M,作MN⊥x軸,垂足為N, = 2
.
(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡的方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn),點(diǎn)
為曲線
上任一點(diǎn),求點(diǎn)
到點(diǎn)
距離的最大值
;
(Ⅲ)在的條件下,設(shè)△
的面積為
(
是坐標(biāo)原點(diǎn),
是曲線
上橫坐標(biāo)為
的點(diǎn)),以
為邊長(zhǎng)的正方形的面積為
.若正數(shù)
滿足
,問
是否存在最小值,若存在,請(qǐng)求出此最小值,若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012屆江蘇省第一學(xué)期期末考試高二數(shù)學(xué)試題 題型:填空題
設(shè)點(diǎn)A為單位圓上一定點(diǎn),求下列事件發(fā)生的概率:
(1)在該圓上任取一點(diǎn)B,使AB間劣弧長(zhǎng)不超過;
(2)在該圓上任取一點(diǎn)B,使弦AB的長(zhǎng)度不超過。
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