Question

（本題滿分10分）已知曲線上的動點滿足到點的距離比到直線 的距離小．
（1）求曲線的方程；
（2）動點在直線 上，過點作曲線的切線，切點分別為、．
（ⅰ）求證：直線恒過一定點，并求出該定點的坐標；
（ⅱ）在直線上是否存在一點，使得為等邊三角形（點也在直線上）？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

．解:（1） 曲線的方程         --------------3分
（2）（�。┰O，
整理得：
同理可得：
 
又

    --------------------------6分
（ⅱ）由（�。┲�中點，
當時，則的中垂線方程為
的中垂線與直線的交點


若為等邊三角形，則

解得此時,
當時，經檢驗不存在滿足條件的點
綜上可得：滿足條件的點存在，坐標為.----------------------10分

解析