Question

函數y=f（x）定義域為D，若滿足：
①f（x）在D內是單調函數；
②存在[m，n]⊆D使f（x）在[m，n]上的值域為[

m

2

，

n

2

]，那么就稱y=f（x）為“減半函數”．若函數f（x）=loga(ax+t)(a＞0，a≠1，t≥0)是“減半函數”，則t的取值范圍為

（0，

1

4

）

．

Answer 1

分析：由題意可知f（x）在D內是單調增函數，才為“減半函數”，從而可構造函數f(x)=

1

2

x，轉化為loga(ax+t)=

1

2

x有兩異正根，t的范圍可求．

解答：解：因為函數f（x）=log_a（a^x+t），（a＞0，a≠1）在其定義域內為增函數，則若函數y=f（x）為“減半函數”，
∵f（x）在[m，n]上的值域為[

m

2

，

n

2

]，
∴

f(m)= m 2 f(n)= n 2

即

loga(am+t)= 1 2 m loga(an+t)= 1 2 n

∴方程f(x)=

1

2

x必有兩個不同實數根，
∵loga(ax+t)=

1

2

x
∴ax+t=a

x

2

∴ax-a

x

2

+t=0
令b=a

x

2

，則b＞0
∴方程b²-b+t=0有兩個不同的正數根，
∴

△=1-4t＞0 t＞0 1＞0

∴0＜t＜

1

4

故答案為（0，

1

4

）

點評：本題考查函數的值域，難點在于構造函數，轉化為兩函數有不同二交點，利用方程解決，屬于難題．