Question

18．過點P（-a，0）作直線l與拋物線C：y²=4ax（a＞0）相交于A，B兩點，F(xiàn)為C的焦點．若|FA|=2|FB|，則直線l的斜率為±$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)直線方程可知直線恒過定點，過A、B分別作AM⊥l于M，BN⊥l于N，根據(jù)|FA|=2|FB|，推斷出|AM|=2|BN|，點B為AP的中點、連接OB，進而可知|OB|=$\frac{1}{2}$|AF|，由此求得點B的橫坐標，則點B的坐標可得，最后利用直線上的兩點求得直線的斜率．

解答 解：拋物線C：y²=4ax的準線為l：x=-a，
如圖過A、B分別作AM⊥l于M，BN⊥l于N，
由|FA|=2|FB|，則|AM|=2|BN|，點B為AP的中點、連接OB，則|OB|=$\frac{1}{2}$|AF|，
∴|OB|=|BF|，點B的橫坐標為$\frac{1}{2}$a，
故點B的坐標為（$\frac{1}{2}$a，±$\sqrt{2}$a）
∵P（-a，0），
∴k=±$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
故答案為：±$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)，考查拋物線的定義，考查直線斜率的計算，屬于中檔題．