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函數f(x)=
1，x為有理數
π，x為無理數
，下列結論不正確的（　　）
A、此函數為偶函數
B、此函數是周期函數
C、此函數既有最大值也有最小值
D、方程f[f（x）]=1的解為x=1
分析：根據分段函數的表達式，分別利用函數奇偶性，周期性和函數的單調性的性質進行判斷即可．
解答：解：A．若x為有理數，則-x也為有理數，∴f（-x）=f（x）=1，
若x為無理數，則-x也無有理數，∴f（-x）=f（x）=π，∴恒有f（-x）=f（x），∴函數f（x）為偶函數．∴A正確．
B．設T為一個正數．當T為無理數時，有f（0）=1，f（0+T）=f（T）=π，∴f（0）=f（0+T）不成立，∴T不可能是f（x）的周期；
當T為有理數時，若x為有理數，易知x+kT（k為整數）還是有理數，有f（x+T）=f（x），
若x為無理數，易知x+kT（k為整數）還是無理數，仍有f（x+T）=f（x）．綜上可知，任意非0有理數都是f（x）的周期．此命題也是對的．
C．由分段 函數的表達式可知，當x為有理數時，f（x）=1，當x為無理數時，f（x）=π，
∴函數的最大值為π，最小值為1，∴C正確．
D．當x為有理數時，f（x）=1，則f[f（x）]=f（1）=1，此時方程成立．
當x為無理數時，f（x）=π，則f[f（x）]=f（π）=π，∴D錯誤．
故選：D．
點評：本題主要考查分段函數的應用，利用函數奇偶性和周期性，單調性的定義是解決本題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設二次函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0）滿足條件：①當x∈R時，f（x-4）=f（2-x），且x≤f(x)≤
12
(1+x2)；②f（x）在R上的最小值為0．
（1）求f（1）的值及f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f（x）-k2x在[-1，1]上是單調函數，求k的取值范圍；
（3）求最大值m（m＞1），使得存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤x．

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科目：高中數學 來源： 題型：

問題1：已知函數f(x)=
x
1+x
，則f(
1
10
)+f(
1
9
)+…+f(
1
2
)+f(1)+f(2)+…+f（9）+f（10）=
19
2
19
2
．
我們若把每一個函數值計算出，再求和，對函數值個數較少時是常用方法，但函數值個數較多時，運算就較繁鎖．觀察和式，我們發(fā)現f(
1
2
)+f(2)、…、f(
1
9
)+f(9)、f(
1
10
)+f(10)可一般表示為f(
1
x
)+f(x)=
1
x
1+
1
x
+
x
1+x
=
1
1+x
+
x
1+x
=
1+x
1+x
=1為定值，有此規(guī)律從而很方便求和，請求出上述結果，并用此方法求解下面問題：
問題2：已知函數f(x)=
1
2x+
2
，求f（-2007）+f（-2006）+…+f（-1）+f（0）+f（1）+…+f（2007）+f（2008）的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
1，x為有理數
0，x為無理數
，則關于x的不等式x2+[f（x）+f（1-x）]x+f（x）f（1-x）≤0的解集為
{-1}
{-1}
．

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科目：高中數學 來源：四川省成都樹德中學2012屆高考適應考試(一)數學試題文理科 題型：022

對于函數f(x)，定義：若存在非零常數M，T，使函數f(x)對定義域內的任意x，都滿足f(x＋T)－f(x)＝M，則稱函數y＝f(x)是準周期函數，非零常數T稱為函數y＝f(x)的一個準周期．如函數f(x)＝2x＋sinx是以T＝2π為一個準周期且M＝4π的準周期函數．下列命題：

①2π是函數f(x)＝sinx的一個準周期；

②f(x)＝x＋(－1)x(x∈z)是以T＝2為一個準周期且M＝2的準周期函數；

③函數f(x)＝kx＋b＋Asin(wx＋φ)(k≠0，w＞0)是準周期函數；

④如果f(x)是一個一次函數與一個周期函數的和的形式，則f(x)一定是準周期函數；

⑤如果f(x＋1)＝－f(x)則函數h(x)＝x＋f(x)是以T＝2為一個準周期且M＝4的準周期函數；其中的真命題是________．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

設二次函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0）滿足條件：①當x∈R時，f（x-4）=f（2-x），且x≤f(x)≤
1
2
(1+x2)；②f（x）在R上的最小值為0．
（1）求f（1）的值及f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f（x）-k2x在[-1，1]上是單調函數，求k的取值范圍；
（3）求最大值m（m＞1），使得存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤x．

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