Question

已知函數(shù)f(x)=loga

2+x

x-2

(a＞0，且a≠1）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)使函數(shù)解析式有意義的原則，結(jié)合對數(shù)函數(shù)中真數(shù)部分大于0，構(gòu)造關(guān)于x的不等式，解分式不等式可得函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）令u(x)=

2+x

x-2

=

x+2

x-2

，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減的原則，可求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（Ⅰ）由

2+x

x-2

＞0得（x+2）（x-2）＞0，
解得x＜-2或x＞2，
所以函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)椋?∞，-2）∪（2，+∞）．        …（2分）
（Ⅱ）令u(x)=

2+x

x-2

=

x+2

x-2

．
設(shè)2＜x₁＜x₂+∞，則u(x1)=

x1+2

x1-2

，u(x2)=

x2+2

x2-2

．      …（3分）
所以u(x1)-u(x2)=

x1+2

x1-2

-

x2+2

x2-2

=

(x1+2)(x2-2)-(x2+2)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

=

4(x2-x1)

(x1-2)(x2-2)

…（4分）
因?yàn)?＜x₁＜x₂+∞，于是x₁-2＞0，x₂-2＞0，x₁-x₂＞0，
所以

4(x2-x1)

(x1-2)(x2-2)

＞0，即u（x₁）＞u（x₂）．
又因?yàn)?＜a＜1，所以log_au（x₁）＜log_au（x₂）．
所以函數(shù)f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增．                    …（6分）
同理可知，函數(shù)f（x）在（-∞，-2）上單調(diào)遞增．             …（7分）
綜上所述，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-2）和（2，+∞）．   …（8分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)的定義域，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．