Question

16．在△ABC中，角A，B，C所對的邊為a，b，c．已知a=2c，且A-C=$\frac{π}{2}$．
（1）求sinC的值；
（2）當b=1時，求△ABC外接圓的半徑．

Answer 1

分析 （1）由已知利用正弦定理可得sinA=2sinC，利用誘導公式可得sinA=cosC，聯(lián)立，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可解得sinC．
（2）由（1）結(jié)合余弦定理并利用大邊對大角可得c＞$\frac{1}{2}$，解得c的值，利用正弦定理即可得解△ABC外接圓的半徑．

解答 （本題滿分為10分）
解：（1）∵a=2c，∴sinA=2sinC①，----------（1分）
又∵A-C=$\frac{π}{2}$，∴sinA=sin（C+$\frac{π}{2}$）=cosC②，----------（3分）
聯(lián)立①②，即可求得cosC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；sinC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．-----------（5分）
（2）由（1）結(jié)合余弦定理可知，c²=a²+b²-2abcosC，
可得：c²=4c²+1-2×2c×1×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，解得：c=$\frac{\sqrt{5}}{3}$或c=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，---------（7分）
∵由已知易得A＞$\frac{π}{2}$，
∴a＞b，可得：2c＞1，即：c＞$\frac{1}{2}$，
∴c=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，---------（8分）
∵2R=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{5}{3}$，
∴R=$\frac{5}{6}$．----------（10分）

點評 本題主要考查了正弦定理，誘導公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，余弦定理，大邊對大角在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．