Question

已知函數(shù)F（x）=

3x-2

2x-1

，（x≠

1

2

），
（I）求F（

1

2010

）+F（

2

2010

）+…+F（

2009

2010

）的值；
（II）已知數(shù)列{an}滿足a₁=2，a_n+1=F（a_n），求證數(shù)列{

1

an-1

}是等差數(shù)列；
（III）已知b_n=

2n-1

2n

，求數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（I）由題意可得F（x）+F（1-x）=3，所以設(shè)S=F（

1

2010

）+f（

2

2010

）+…+F（

2009

2010

）倒序后相加即可得到結(jié)果．
（II）由a _n+1=F（a_n）兩邊同減去1，得

1

an+1-1

=

2an-1

an-1

=2+

1

an-1

，所以，{

1

an-1

}是以2為公差以1為首項(xiàng)的等差數(shù)列．
（III）利用條件可得a_nb_n=

n

2n-1

，它是一個(gè)等差數(shù)列與等比數(shù)列積的形式，利用錯(cuò)位相減可求數(shù)列的和．

解答：解：（I）因F（x）+F（1-x）=

3x-2

2x-1

+

3(1-x)-2

2(1-x)-1

=3．------------------------------（2分）
所以設(shè)S=F（

1

2010

）+f（

2

2010

）+…+F（

2009

2010

）…（1）
S=F（

2009

2010

）+f（

2

2010

）+…+F（

1

2010

）…（2）
（1）+（2）得：2S=2009×[F（

1

2010

）+F（

2009

2010

）]=3×2009=6027，
∴S=

6027

2

．
（II）由a _n+1=F（a_n）兩邊同減去1，得a _n+1-1=

3an-2

2an-1

-1=

an-1

2an-1

．---------（7分）
所以

1

an+1-1

=

2an-1

an-1

=2+

1

an-1

所以，{

1

an-1

}是以2為公差以1為首項(xiàng)的等差數(shù)列．----（10分）
（III）因?yàn)?span id="c4kqvsy" class="MathJye">

1

an-1

=2+(n-1)×2，
∴a_n=1+

1

2n-1

=

2n

2n-1

．
因?yàn)閎_n=

2n-1

2n

，所以a_nb_n=

n

2n-1

------------------------------（12分）
S_n=

1

20

+

2

21

+…+

n

2n-1

（3）

1

2

S_n=

1

21

+

2

22

+…+

n

2n

          （4）
由（3）-（4）得

1

2

S_n=

1

20

+

1

21

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=2-

1

2n-1

-

n

2n

所以S_n=4-

2+n

2n-1

-----------------------------（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造等差數(shù)列，求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，錯(cuò)位相減求解數(shù)列的和是數(shù)列求和方法中的重點(diǎn)與難點(diǎn)，要注意掌握