【題目】已知拋物線：（）.

（1）若拋物線的焦點到準線的距離為4，點，在拋物線上，線段的中點為，求直線的方程；

（2）若圓以原點為圓心，1為半徑，直線與，分別相切，切點分別為，，求的最小值.

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由距離為4可求出進而可求出拋物線的方程.設(shè)，，代入到拋物線方程中，兩式相減，結(jié)合中點坐標，即可求出的斜率，結(jié)合直線的點斜式，可求出直線的方程.

（2）設(shè)直線的方程為（），與拋物線、圓的方程聯(lián)立，結(jié)合相切，可求，.設(shè)，通過切點既在直線上又在拋物線上，可求出，，從而，結(jié)合基本不等式，可求出有最小值.

解：（1）由拋物線的焦點到準線的距離為4，得.所以拋物線的方程為.

設(shè)，，則，所以，即

.因為線段的中點的坐標為，

所以且.所以.

故直線的方程為，即直線的方程為

經(jīng)檢驗符合題意.

（2）設(shè)直線的方程為（）.代入，得.（*）

由直線與拋物線相切可知，，故.①

又直線與圓相切，所以，即.②

聯(lián)立①②，得，故.

設(shè)，解（*）式可得，，從而.

故，

當且僅當時，有最小值，為.

練習冊系列答案
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大二學生場均關(guān)注比賽時間的頻數(shù)分布表

時間分組

頻數(shù)

12

20

24

22

16

6

（1）將頻率視為概率，估計哪個年級的大學生是“賽迷”的概率大，請說明理由；

（2）已知抽到的100名大一學生中有男生50名，其中10名為“賽迷”試完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有的把握認為“賽迷”與性別有關(guān).

非“賽迷”

“賽迷”

合計

男

女

合計

附：，其中.

0.15

0.10

0.05

0.025

2.072

2.706

3.841

5.024

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【題目】疫情爆發(fā)以來，相關(guān)疫苗企業(yè)發(fā)揮專業(yè)優(yōu)勢與技術(shù)優(yōu)勢爭分奪秒開展疫苗研發(fā).為測試疫苗的有效性(若疫苗有效的概率小于90%，則認為測試沒有通過)，選定2000個樣本分成三組，測試結(jié)果如“下表:

組

組

組

疫苗有效

673

疫苗無效

77

90

已知在全體樣本中隨機抽取1個，抽到組疫苗有效的概率是0.33.

（1）求，的值；

（2）現(xiàn)用分層抽樣的方法在全體樣本中抽取360個測試結(jié)果，求組應抽取多少個?

（3）已知，，求疫苗能通過測試的概率.

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