Question

17．某學(xué)校為了對(duì)教師教學(xué)水平和教師管理水平進(jìn)行評(píng)價(jià)，從該校學(xué)生中選出300人進(jìn)行統(tǒng)計(jì)．其中對(duì)教師教學(xué)水平給出好評(píng)的學(xué)生人數(shù)為總數(shù)的60%，對(duì)教師管理水平給出好評(píng)的學(xué)生人數(shù)為總數(shù)的75%，其中對(duì)教師教學(xué)水平和教師管理水平都給出好評(píng)的有120人．
（1）填寫教師教學(xué)水平和教師管理水平評(píng)價(jià)的2×2列聯(lián)表：

	對(duì)教師管理水平好評(píng)	對(duì)教師管理水平不滿意	合計(jì)
對(duì)教師教學(xué)水平好評(píng)
對(duì)教師教學(xué)水平不滿意
合計(jì)

問：是否可以在犯錯(cuò)誤概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為教師教學(xué)水平好評(píng)與教師管理水平好評(píng)有關(guān)、
（2）若將頻率視為概率，有4人參與了此次評(píng)價(jià)，設(shè)對(duì)教師教學(xué)水平和教師管理水平全好評(píng)的人數(shù)為隨機(jī)變量X；
①求對(duì)教師教學(xué)水平和教師管理水平全好評(píng)的人數(shù)X的分布列（概率用組合數(shù)算式表示）；
②求X的數(shù)學(xué)期望和方差．

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，可得關(guān)于教師教學(xué)水平和教師管理水平評(píng)價(jià)的2×2列聯(lián)表，計(jì)算K²，驗(yàn)證K²是否大于10.828，即可得出結(jié)論；
（2）①分別求出X所有可能取值的概率，得出X的分布列；
②由于X～B（4，$\frac{2}{5}$），即可計(jì)算數(shù)學(xué)期望和方差．

解答 解：（1）由題意可得關(guān)于教師教學(xué)水平和教師管理水平評(píng)價(jià)的2×2列聯(lián)表：

	對(duì)教師管理水平好評(píng)	對(duì)教師管理水平不滿意	合計(jì)
對(duì)教師教學(xué)水平好評(píng)	120	60	180
對(duì)教師教學(xué)水平不滿意	105	15	120
合計(jì)	225	75	300

…2分
${K^2}=\frac{{300×{{（120×15-60×105）}^2}}}{180×120×225×75}≈16.667＞10.828$，
∴可以在犯錯(cuò)誤概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為教師教學(xué)水平好評(píng)與教師管理水平好評(píng)有關(guān)； …5分
（2）①對(duì)教師教學(xué)水平和教師管理水平全好評(píng)的概率為$\frac{2}{5}$，且X 的取值可以是0，1，2，3，4，其中$P（X=0）={（{\frac{3}{5}}）^4}$；$P（X=1）=C_4^1（{\frac{2}{5}}）{（{\frac{3}{5}}）^3}$；$P（X=2）=C_4^2{（{\frac{2}{5}}）^2}{（{\frac{3}{5}}）^2}$；$P（X=3）=C_4^3{（{\frac{2}{5}}）^3}{（{\frac{3}{5}}）^1}$；$P（X=4）=C_4^4{（{\frac{2}{5}}）^4}{（{\frac{3}{5}}）^0}$，…8分
X 的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P	${（{\frac{3}{5}}）^4}$	$C_4^1（{\frac{2}{5}}）{（{\frac{3}{5}}）^3}$	$C_4^2{（{\frac{2}{5}}）^2}{（{\frac{3}{5}}）^2}$	$C_4^3{（{\frac{2}{5}}）^3}{（{\frac{3}{5}}）^1}$	$C_4^4{（{\frac{2}{5}}）^4}{（{\frac{3}{5}}）^0}$

…10分
②由于X～B（4，$\frac{2}{5}$），則$EX=4×\frac{2}{5}=\frac{8}{5}$，$DX=4×\frac{2}{5}×（{1-\frac{2}{5}}）=\frac{24}{25}$． …12分

點(diǎn)評(píng) 本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，正確求出概率是關(guān)鍵，屬于中檔題．