Question

已知直線l與圓x²+y²+2x=0相切于點T，且與雙曲線x²-y²=1相交于A、B兩點．若T是線段AB的中點，求直線l的方程．

Answer 1

解：直線l與x軸不平行，設l的方程為 x=ky+a，代入雙曲線方程 整理得（k²-1）y²+2kay+a²-1=0．
而k²-1≠0，于是，從而，即 ．
∵點T在圓上，∴，即k²=a+2，
由圓心O'（-1，0），O'T⊥l 得 k_O'T•k_l=-1，則 k=0，或 k²=2a+1．
當k=0時，由①得 a=-2，∴l(xiāng) 的方程為 x=-2；
當k²=2a+1時，由①得 a=1，∴l(xiāng)的方程為 ．
故所求直線l的方程為x=-2或 ．
分析：設l的方程為 x=ky+a，代入雙曲線方程 整理，利用根與系數(shù)的關系求得點T的坐標，把點T的坐標代入圓的方程得到k²=a+2，由 O'T⊥l 得 k_O'T•k_l=-1，可得 k=0，或 k²=2a+1．分類討論求得a值，即得k值，從而得到所求直線l的方程．
點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，兩直線垂直的性質，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，得到 k=0，或 k²=2a+1是解題的關鍵．