Question

8．求下列函數(shù)的極值
（1）f（x）=x³-12x；
（2）f（x）=x²e^-x．

Answer 1

分析 （1）（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可．

解答 解：（1）函數(shù)定義域?yàn)镽．
f′（x）=3x²-12=3（x+2）（x-2），
令f′（x）=0，得x=±2，
當(dāng)x＞2或x＜-2時(shí)，f'（x）＞0，
∴函數(shù)在（-∞，-2）和（2，+∞）上是增函數(shù)；
當(dāng)-2＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0，
∴函數(shù)在（-2，2）上是減函數(shù)；
∴當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)有極大值f（-2）=16，
當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)有極小值f（2）=-16．
（2）函數(shù)定義域?yàn)镽，
f′（x）=2xe^-x-x²e^-x=x（2-x）e^-x，
令f'（x）=0，得x=0或x=2．
當(dāng)x＜0或x＞2時(shí)，f'（x）＜0，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，0）和（2，+∞）上是減函數(shù)；
當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f'（x）＞0，∴函數(shù)f（x）在（0，2）上是增函數(shù)．
∴當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)取得極小值f（0）=0，
當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)取得極大值f（2）=4e^-2．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．