Question

7．如圖，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)面ACC₁A₁是正方形，AC=BC，點O是側(cè)面ACC₁A₁的中心，∠ACB=$\frac{π}{2}$，M在棱BC上，且MC=2BM=2．
（1）證明BC⊥AC₁；
（2）求OM的長度．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出CC₁⊥BC，BC⊥AC，從而BC⊥面ACC₁A₁，進(jìn)而BC⊥AC₁；
（2）由（1）可知BC⊥OC，利用勾股定理求OM的長度．

解答 證明：（1）因為ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
所以CC₁⊥底面ABC，
所以CC₁⊥BC，
又∠ACB=$\frac{π}{2}$，即BC⊥AC，
而CC₁，AC?面ACC₁A₁，且CC₁∩AC=C，
所以BC⊥面ACC₁A₁，
而AC₁?面ACC₁A₁，
所以BC⊥AC₁；
解：（2）由（1）可知BC⊥OC，
因為MC=2，OC=$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，
所以O(shè)M=$\sqrt{4+\frac{18}{4}}$=$\frac{\sqrt{34}}{2}$．

點評 本題考查線面垂直的判定，考查勾股定理的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．