Question

已知數列{a_n），其中a₂=6，

an+1+an-1

an+1-an+1

=n
（1）求a₁、a₃、a₄；
（2）求數列{a_n}通項公式；
（3）設數列{b_n}為等差數列，其中b_n=

an

n+c

（c為不為零的常數），若S_n=b₁+b₂+…+b_n，求

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

．

Answer 1

分析：（1）在

an+1+an-1

an+1-an+1

=n中，分別令n=2，3，4得出關于a₁、a₃、a₄；的方程計算求解即可．
（2）猜想a_n=n（2n-1），再用數學歸納法證明
（3）由（2）利用2b₂=b₁+b₃．求出c，繼而得出bn，Sn，再利用裂項求和法得出結果．

解答：解：（1）a₂=6，

a2+a1-1

a2-a1+1

=1，

a3+a2-1

a3-a2+1

=2，

a4+a3-1

a4-a3+1

=3
得a₁=1，a₃=15，a₄=28
（2）猜想a_n=n（2n-1），下面用數學歸納法證明
①當n=1時，由已知，顯然成立．
②假設當n=k（k≥1）時成立，即a_k=k（2k-1）
則當n=k+1時，有

ak+1+ak-1

ak+1-ak+1

=k．所以（k-1）a _k+1=（k+1）a _k-k（k+1），
a _k+1=（k+1）[2（k+1）-1]
即當n=k+1時也成立．所以a_n=n（2n-1）成立
（3）因為{b_n}為等差數列，所以2b₂=b₁+b₃．
∴

2a2

2+c

=

a1

1+c

+

a3

3+c

，又a₁=1，a₂=6，a₃=15，
∴c=-

1

2

，∴bn=

an

n- 1 2

=

n(2n-1)

1 2 (2n-1)

=2n．
故S_n=b₁+b₂+…+b_n，=n（n+1）

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=[

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

]
=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

=

n

n+1

點評：本題考查數列遞推公式與通項公式，數列前n項和求解，考查數學歸納法的數學功用．考查推理論證，運算求解能力與求和方法．．