Question

10．已知（2x+$\frac{1}{{x}^{2}}$+a）⁶（a∈Z）的展開式中常數(shù)項為1，則（m+an）⁸的展開式中含m³n⁵的項的系數(shù)為-56．

Answer 1

分析 利用（2x+$\frac{1}{{x}^{2}}$+a）⁶（a∈Z）的展開式中常數(shù)項為1，求出a，確定（m+an）⁸的展開式的通項，即可求出（m+an）⁸的展開式中含m³n⁵的項的系數(shù)．

解答 解：（2x+$\frac{1}{{x}^{2}}$+a）⁶（a∈Z）的展開式中常數(shù)項為${a}^{6}+{C}_{6}^{2}•{2}^{2}•{C}_{4}^{1}•{a}^{3}$+${C}_{6}^{4}•{2}^{4}$=1，
可化為（a³+239）（a³+1）=0，
∵a∈Z，
∴a=-1，
∴（m+an）⁸的展開式的通項為${C}_{8}^{r}•（-1）^{r}•{m}^{8-r}•{n}^{r}$，
令r=5，可得所求系數(shù)為-56．
故答案為：-56．

點評 本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，屬于基礎(chǔ)題．