Question

已知函數f（x）=lnx-mx（m∈R）．
（1）若曲線y=f（x）過點P（1，-1），求曲線y=f（x）在點P的切線方程；
（2）若f（x）≤0恒成立求m的取值范圍；
（3）求函數f（x）在區(qū)間[1，e]上最大值．

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,壓軸題,導數的綜合應用

分析：（1）由f（x）過點P（1，-1）可得-1=ln1-m，從而解出m=1，進而求曲線y=f（x）在點P的切線方程；
（2）原式可化為lnx-mx≤0恒成立，結合x＞0可化為m≥

lnx

x

恒成立，從而化為求g(x)=

lnx

x

的最大值，利用導數求最值；
（3）由f′(x)=

1

x

-m=

1-mx

x

討論，m的取值，以確定函數函數f（x）在區(qū)間[1，e]上的單調性，從而求函數在區(qū)間[1，e]上的最大值．

解答： 解：（1）∵f（x）過點P（1，-1），
∴-1=ln1-m，∴m=1，
∴f（x）=lnx-x，
f′(x)=

1

x

-1，
f'（1）=0，
∴過點P（1，-1）的切線方程為y=-1．
（2）∵f（x）≤0恒成立，
即lnx-mx≤0恒成立，
∴mx≥lnx，
又∵f（x）定義域為（0，+∞），
∴m≥

lnx

x

恒成立；
設g(x)=

lnx

x

，
∵g′(x)=

1-lnx

x2

，
∴當x=e時，g'（e）=0
當0＜x＜e時，g'（x）＞0，g（x）為單調增函數，
當x＞e時，g'（x）＜0，g（x）為單調減函數，
∴g(x)max=g(e)=

1

e

，
∴當m≥

1

e

時，f（x）≤0恒成立．
（3）∵f′(x)=

1

x

-m=

1-mx

x

，
①當m≤0時，f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）為單增函數，
∵在x∈[1，e]上，f（x）_max=f（e）=1-me；
②當

1

e

≤m≤1，即1≤

1

m

≤e時，
當x∈(0，

1

m

)時，f'（x）＞0，f（x）為單增函數，
當x∈(

1

m

，+∞)時，f'（x）＜0，f（x）為單減函數，
∴x∈[1，e]上，f(x)max=f(

1

m

)=-lnm-1；
③當m＞1時，即0＜

1

m

＜1，f(x)在(

1

m

，+∞)為單減函數，
∴x∈[1，e]上，f（x）_max=f（1）=-m；
④當0＜m＜

1

e

，即

1

m

＞e時，
f（x）在(0，

1

m

)為單增函數，
∴x∈[1，e]時，f（x）_max=f（e）=1-me；
綜上所述，
當m＜

1

e

時，f（x）_max=f（e）=1-me，
當

1

e

≤m≤1時，f(x)max=f(

1

m

)=-lnm-1
當m＞1時，f（x）_max=f（1）=-m．

點評：本題考查了導數的綜合應用，恒成立問題一般要轉化為函數的最值問題，本題求閉區(qū)間上的最值問題時用到了分類討論的數學思想，是本題的難點，要注意選擇恰當的標準分類，屬于難題．